对数换底公式及推导证明

一、基本概念

在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的逆运算，反之亦然。如果a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作 $x=lo{g}_{a}N$ 。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。 $x=lo{g}_{a}N$ 等价于 $a^x=N$。

• 特别地，我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并记为lgN。
• 称以无理数e(e=2.71828…)为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并记为lnN。
• 零没有对数，因为任何数的幂都不可能为0。
• 在实数范围内，负数无对数。在虚数范围内，负数是有对数的。

对数的图像如下：

对数的常用性质：

二、换底公式