Kizuk1
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线性代数的本质

视频来源：https://www.bilibili.com/video/av6731067

向量究竟是什么？

可以用三个角度去理解，其中cs理解的现代其实类似于一种序列，数学家这是努力把向量抽象并找出关系

线代围绕着两个基本运算：向量的加法和向量数乘

线性代数的本质_第1张图片
三个角度看线代


线性组合、张成的空间与基

i,j是xy坐标系的基向量  向量可以用xi+yj表示

张成的空间：两个向量线性组合（两个基本运算）构成的向量集

线性相关：在几个向量中减去其中一个而张成空间不变

向量空间的一个基是张成该空间的一个线性无关向量集


矩阵与线性变换

可以把矩阵当成线性变换

线性变换：本质是函数

线性：原来是直线后来也是直线（包括对角线） ，原点固定 ，或者理解是保持网格线平行并且等距分布


矩阵乘法与线性变换复合

不符合交换律，符合结合律

理解矩阵相乘的意义


线性代数的本质_第2张图片
矩阵相乘意义：i和j转换后是多少


行列式


线性代数的本质_第3张图片
行列式意义


线性代数的本质_第4张图片
数学证明


det(M1M2)=det(M1)det(M2)      //面积先放大m1倍再放大m2倍=放大m1m2倍


逆矩阵、列空间与零空间

秩：变换后空间的维度

列空间就是矩阵张成的空间

线性代数的本质_第5张图片
列空间

所以秩就是列空间的维度

满秩就是秩和列数相等


解线性方程组无解的情况

线性代数的本质_第6张图片
解不存在：不存在逆矩阵且不在压缩后的空间


零空间：变换后落在原点的向量集合

线性代数的本质_第7张图片
线性变换原点不变

对线性方程组来讲就是等式右边刚好是零向量的情况


点积与对偶性

一个多维空间到一维空间的线性变换的对偶是多维空间中的某个特定向量

线性代数的本质_第8张图片
点积的理解


叉积


线性代数的本质_第9张图片
叉积运算

几何意义：垂直于两向量构成的平面，长度为两向量围成的面积，正负和前面讲的右手定则类似


基变换


线性代数的本质_第10张图片
不同的基转换

反之做个简单的点积运算


线性代数的本质_第11张图片
线性左旋转90度

A^(-1)MA 暗示着数学上的转移作用


特征向量与特征值


线性代数的本质_第12张图片
定义

其中的意义

线性代数的本质_第13张图片
矩阵变换后仍然线性的向量


计算矩阵次幂有个思路：先转换成特征向量的基，即基变换，求出在特征向量为基的矩阵，再转换回去

线性代数的本质_第14张图片
一个应用


线性代数的本质_第15张图片
思考题？


抽象向量空间


线性代数的本质_第16张图片
函数与向量



线性代数的本质_第17张图片
回到向量是什么


线性代数的本质_第18张图片
它可以是任何东西

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