算法复杂度分析(二)

先看以下的代码

代码1

    fun 函数的作用是找到数组中的目标值，没有则返回 -1，这个函数的时间复杂度，取绝于数组的长度（规模），所以可以 粗略 分析出这段代码的时间复杂度是 O(n)，n 为数组长度。

    但是，在这个查找的过程中，并不是每次都需要找到最后，当提前到找到目标值，这个函数就会 return ，提前终止。比如，目标 target 就在数组的第一个，那么就不用再取遍历 剩下的 n-1 个数据了，那么这段代码的时间复杂度就是 O(1) ；如果目标值 target 在最后一个或者没有，那么这段代码的时间复杂度就是 O(n)。 

    所以，为了表示代码在不同情况下的不同时间复杂度，就出现了三个概念：最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度 和 平均情况时间复杂度 帮助我们更好的分析。

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最好、最坏情况时间复杂度

    顾名思义，最好情况时间复杂度 和 最坏情况时间复杂度  分别是 指 在最理想的情况下 和 在最糟糕的情况下 执行这段代码的时间复杂度。对于上面代码，最好情况时间复杂度 和 最坏情况时间复杂度 分别 是 O(1) 和 O(n) 。

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平均情况时间复杂度

     我们知道 最好情况时间复杂度 和 最坏情况时间复杂度 都是一种 极端 的情况， 出现的概率并不是很大。但是由于目标元素的位置不同，导致时间复杂度会出现 量级 的差异，所以 我们需要引入另一个概念 平均情况时间复杂度 来分析这种情况。

     目标元素 如果出现在 数组种，出现的位置有 n (n 为数组的长度) 种情况，还有一种是 不在数组种的情况，所以是 n + 1 种。

    我们来 求平均比对多少个数组元素才能找到 x。如果 x 再第一个位置，那需要 1 次比对，如果再第二个位置，就需要比对 2 次，一次类推，如果在第 n 个位置， 就需要比对 n 次。如果不在数组中，也需要比对 n 次。所有的次数之和除以 n+1 种情况，就是平均比对元素个数。

    平均遍历次数 = 各种情况遍历次数相加 ÷ 总的情况数。

    平均次数 = （1 + 2 + 3 + 4 + ....... + (n-1) + n + n） / n + 1

                   = ( 3 + 3 + 4 + ....... + (n-1) + n + n) / n + 1

                   = n (n + 3) / 2(n + 1)

    根据大 O 表示法，忽略系数 和 低阶项 得到 平均时间复杂度为 O(n)。

   上面的情况 没有考虑各自情况发生的概率，这 n + 1 种情况 出现的概率并不是相同的。粗略的计算，目标 target 在数组 和 不在数组的概率各占 50%， 在加上出现 0 - n-1 这 n 个位置的概率也是一样的，为 1 / n 。 所以 目标值 出现在 0 - n-1 中 任意位置 的概率 为 1/ 2n。

    所以加入概率后的 平均时间复杂度 就变成了

      1 * 1/ 2n + 2 * 1/ 2n + ......n * 1/ 2n + n * 1/ 2n = （3n + 1) / 4

     这个值就是概率论中的加权平均值（ 加权平均值 即 将各数值乘以相应的 权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数）， 也叫做期望值。这种 时间复杂度称为 加权平均时间复杂度 或者 期望时间复杂度。

    根据大 O 表示法，忽略系数 和 低阶项 得到 加权平均时间复杂为 O(n)。

   再次提醒： 一般情况下，我们只要使用 一个时间复杂度就可以了。只有同一块代码在不同的情况下，时间复杂度有 量级 的差距，我们才会使用以上三种复杂度表示法来区分。

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均摊时间复杂度

代码2

      以上代码中，add 函数就是实现一个往数组中添加数据的功能。先定义一个长度为 n 的空数组，然后添加数据。当 coutn < n 时，直接将数据添加到数组中 ; 当  count === n 也就是等于数组的长度 时，用 for 循环遍历数组求和，将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置，然后再将新的数据插入。

    我们来分析一下它的时间复杂度，数组的长度为 n，根据数据插入的不同位置，可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度为 O(1)。还有一种最“糟糕”的情况，那就是数组已满，这个时候的时间复杂度为 O(n)。而且，这 n+1 种情况发生的概率是一样的，都是 1/(n+1)。所以，根据加权平均的计算方法：

       1 x 1 / n+1 + 1 x 1 / n+1 + …… + 1 x 1  /n+1 + n x 1 / n+1 = O(1)

    我们求得的平均时间复杂度就是：O(1)。

    但是这个例子里的平均复杂度分析其实并不需要这么复杂，不需要引入概率论的知识。这是为什么呢？我们先来对比一下这个add 的例子和前面那个 fun 的例子，你就会发现这两者有很大差别。

    代码1 的 fun 函数在极端情况下，时间复杂度才为 O(1)。但 add 函数在大部分情况下，时间复杂度都为 O(1)。只有个别情况下，时间复杂度才比较高为 O(n)。

    对于 add 函数来说，O(1) 时间复杂度的添加 和 O(n) 时间复杂度的添加，出现的频率是非常有规律的，而且有一定的前后顺序，一般都是一个 O(n) 添加之后，紧跟着 n-1 个 O(1) 的添加操作，循环往复。

    所以，针对这样一种特殊场景的复杂度分析，我们并不需要像之前讲平均复杂度分析方法那样，找出所有的输入情况及相应的发生概率，然后再计算加权平均值。

     针对这种特殊的情况，我们引入了一种更加简单的分析方法 摊还分析法。均摊时间复杂度对应的分析方法叫 摊还分析。平均复杂度只在某些特殊情况下才会用到，而均摊时间复杂度应用的场景就更加特殊和有限。

     在代码执行的所有复杂度情况中 绝大部分 是 低级别的复杂度，个别情况 是 高级别复杂度 且发生具有 时序关系 时，可以将个别高级别复杂度 均摊 到低级别复杂度上。基本上均摊结果就等于低级别复杂度。

    比如，每当经历 n 次时间复杂度为 O(1) 的操作时，便经历 1 次时间复杂度为 O(n) 的操作，有一定的时序规律，并且出现高级别复杂度的情况极少。我们将出现高级别的情况均摊到低级别复杂度的情况中，整个插入操作的时间复杂度就变为 O(1) 了, 这就是摊还分析的大致思想。

      分析：对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个 时候，我们就可以将这一组操作放在一块儿分析，看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。

     简单来讲 出现O(1)的次数 远大于出现O(n)出现的次数，那么平均平摊时间复杂度就是O(1)。

总结

    1.代码在不同情况下复杂度出现量级差别，则用平均情况时间复杂度分析。

    2.代码在绝大多数情况下是低级别复杂度，只有极少数情况是高级别复杂度，并且具有一定的时序规律，则用均摊时间复杂度分析。