二十二. java数据结构 - 图

1.为什么要有图

1. 前面我们学了线性表和树

2. 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系

3. 树也只能有一个直接前驱也就是父节点

4. 当我们需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图。

2. 图的举例说明

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。

图

3. 图的常用概念

1. 顶点(vertex)

2. 边(edge)

3. 路径

4. 无向图

无向图

5. 有向图

6. 带权图

有向图/带权图

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。

4. 邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于 n 个顶点的图而言，矩阵是的 row 和 col 表示的是 1....n个点。

邻接矩阵

5. 邻接表

1. 邻接矩阵需要为每个顶点都分配 n 个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.

2. 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成

邻接表

6. 实现下图结构

图结构

(1) 存储顶点 String 使用 ArrayList

(2) 保存矩阵 int[][] edges

public class Graph {

    private ArrayList vertexList; //存储顶点集合
    private int[][] edges; //存储图对应的邻结矩阵
    private int numOfEdges; //表示边的数目
    //定义给数组boolean[], 记录某个结点是否被访问
    private boolean[] isVisited;
    
    //插入结点
    public void insertVertex(String vertex) {
        vertexList.add(vertex);
    }
    
    /**
     * 添加边
     * @param v1 表示点的下标即使第几个顶点  "A"-"B" "A"->0 "B"->1
     * @param v2 第二个顶点对应的下标
     * @param weight 表示 
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight;
        numOfEdges++;
    }
}

7. 图的深度优先遍历

所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，

一般有两种访问策略:

• (1)深度优先遍历
• (2)广度优先遍历

7.1 深度优先遍历基本思想

• 1. 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问

  第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：

  每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。

• 2. 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
• 3. 显然，深度优先搜索是一个递归的过程

7.2 深度优先遍历算法步骤

1. 访问初始结点 v，并标记结点 v 为已访问。

2. 查找结点 v 的第一个邻接结点 w。

3. 若 w 存在，则继续执行 4，如果 w 不存在，则回到第 1 步，将从 v 的下一个结点继续。

4. 若 w 未被访问，对 w 进行深度优先遍历递归（即把 w 当做另一个 v，然后进行步骤 123）。

5. 查找结点 v 的 w 邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤 3。

深度优先遍历算法步骤

7.3 代码实现

    //深度优先遍历算法
    //i 第一次就是 0
    private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
        //首先我们访问该结点,输出
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
        //将结点设置为已经访问
        isVisited[i] = true;
        //查找结点i的第一个邻接结点w
        int w = getFirstNeighbor(i);
        while(w != -1) {//说明有
            if(!isVisited[w]) {
                dfs(isVisited, w);
            }
            //如果w结点已经被访问过
            w = getNextNeighbor(i, w);
        }
        
    }
    
    //对dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs
    public void dfs() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        //遍历所有的结点，进行dfs[回溯]
        for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if(!isVisited[i]) {
                dfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

    //返回结点的个数
    public int getNumOfVertex() {
        return vertexList.size();
    }

8. 图的广度优先遍历

8.1 广度优先遍历基本思想

• 1. 图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
• 2. 类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

8.2 广度优先遍历算法步骤

• 1. 访问初始结点 v 并标记结点 v 为已访问。
• 2. 结点 v 入队列
• 3. 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
• 4. 出队列，取得队头结点 u。
• 5. 查找结点 u 的第一个邻接结点 w。
• 6. 若结点 u 的邻接结点 w 不存在，则转到步骤 3；否则循环执行以下三个步骤：

  • 6.1 若结点 w 尚未被访问，则访问结点 w 并标记为已访问。

  • 6.2 结点 w 入队列

  • 6.3 查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w，转到步骤 6。

8.3 代码实现

    
    //对一个结点进行广度优先遍历的方法
    private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
        int u ; // 表示队列的头结点对应下标
        int w ; // 邻接结点w
        //队列，记录结点访问的顺序
        LinkedList queue = new LinkedList();
        //访问结点，输出结点信息
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
        //标记为已访问
        isVisited[i] = true;
        //将结点加入队列
        queue.addLast(i);
        
        while( !queue.isEmpty()) {
            //取出队列的头结点下标
            u = (Integer)queue.removeFirst();
            //得到第一个邻接结点的下标 w 
            w = getFirstNeighbor(u);
            while(w != -1) {//找到
                //是否访问过
                if(!isVisited[w]) {
                    System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
                    //标记已经访问
                    isVisited[w] = true;
                    //入队
                    queue.addLast(w);
                }
                //以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点
                w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先
            }
        }
        
    } 
    
    //遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
    public void bfs() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if(!isVisited[i]) {
                bfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

9.图的深度优先 VS 广度优先

图的深度优先 VS 广度优先