传送门:E - Placing Squares
题意:现在有一根长度为n的木棍
木棍上有 m m m个标记,第i个标记距离左端点为 x i x_i xi
需要在这根木棍上摆放一些正方形,满足:
每一个正方形的边长都是正整数
每一个正方形都要有一条边紧贴着木棍
木棍必须被完全覆盖,正方形的边界也不能超出木棍
两个相邻正方形的交界处不能有标记
定义每种方案的美丽度为所有正方形面积的乘积
求所有合法方案的美丽度的和,答案对 1 0 9 + 7 10^9+7 109+7取模
首先贡献和可以通过一个巧妙的转换变成方案数。将原问题的模型稍微修改一下:现在有 n n n个连续的空格,其中左边界和右边界必须放置隔板,可以在两个相邻空格摆放隔板,可以在空格内放红球和蓝球。贡献和等价于转换后问题的方案数,这样就变成了一个计数 d p dp dp。
考虑 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]为考虑前 i i i位,最后一个隔板之后有 j j j个球的方案数。
考虑转移就是暴力枚举在第 i i i个位置放了 ( 0 , 1 , 2 ) (0,1,2) (0,1,2)个球和是否在第 i i i个位置放置挡板,具体推导过程不再赘述
d p [ i ] [ 0 ] = d p [ i − 1 ] [ 0 ] ∗ 2 + d p [ i − 1 ] [ 1 ] ∗ 2 + d p [ i − 1 ] [ 2 ] ∗ 1 d p [ i ] [ 1 ] = d p [ i − 1 ] [ 0 ] ∗ 1 + d p [ i − 1 ] [ 1 ] ∗ 1 + d p [ i − 1 ] [ 2 ] ∗ 0 d p [ i ] [ 0 ] = d p [ i − 1 ] [ 0 ] ∗ 1 + d p [ i − 1 ] [ 1 ] ∗ 2 + d p [ i − 1 ] [ 2 ] ∗ 1... dp[i][0]=dp[i-1][0]*2+dp[i-1][1]*2+dp[i-1][2]*1\\ dp[i][1]=dp[i-1][0]*1+dp[i-1][1]*1+dp[i-1][2]*0\\ dp[i][0]=dp[i-1][0]*1+dp[i-1][1]*2+dp[i-1][2]*1 ... dp[i][0]=dp[i−1][0]∗2+dp[i−1][1]∗2+dp[i−1][2]∗1dp[i][1]=dp[i−1][0]∗1+dp[i−1][1]∗1+dp[i−1][2]∗0dp[i][0]=dp[i−1][0]∗1+dp[i−1][1]∗2+dp[i−1][2]∗1...
相当于
A N S [ i ] = { 2 2 1 1 1 0 1 2 1 } ∗ A N S [ i − 1 ] ANS[i]= \left\{ \begin{matrix} 2 & 2 &1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right\} *ANS[i-1] ANS[i]=⎩⎨⎧211212101⎭⎬⎫∗ANS[i−1]
显然可以用矩阵快速幂优化。
当然在隔板处的转移略有不同,此处不再赘述。
#include
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=3;
struct Matrix{
int a[N][N];
Matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
Matrix operator *(const Matrix &B)
{
Matrix c;
for(int k=0;k<N;k++)
for(int i=0;i<N;i++)
for(int j=0;j<N;j++)
c.a[i][j]=(c.a[i][j]+1LL*a[i][k]*B.a[k][j]%mod+mod)%mod;
return c;
}
}A,B,C,D;
Matrix fpow(Matrix A,long long b)///A^b
{
Matrix ret,B=A;
for(int i=0;i<N;i++)ret.a[i][i]=1;
while(b)
{
if(b&1)ret=ret*B;
B=B*B;
b>>=1;
}
return ret;
}
void init()
{
A.a[0][0]=2,A.a[0][1]=2,A.a[0][2]=1;
A.a[1][0]=1,A.a[1][1]=1,A.a[1][2]=0;
A.a[2][0]=1,A.a[2][1]=2,A.a[2][2]=1;
B.a[0][0]=1,B.a[0][1]=0,B.a[0][2]=0;
B.a[1][0]=1,B.a[1][1]=1,B.a[1][2]=0;
B.a[2][0]=1,B.a[2][1]=2,B.a[2][2]=1;
C.a[0][0]=1,C.a[0][1]=2,C.a[0][2]=1;
C.a[1][0]=0,C.a[1][1]=0,C.a[1][2]=0;
C.a[2][0]=0,C.a[2][1]=0,C.a[2][2]=0;
}
int a[1000005];
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&a[i]);
init();
Matrix ans;
ans.a[0][0]=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
ans=fpow(A,a[i]-a[i-1]-1)*ans;
ans=B*ans;
}
ans=fpow(A,n-a[m]-1)*ans;
ans=C*ans;
// for(int i=0;i
// {
// for(int j=0;j
// {
// printf("%d%c",ans.a[i][j],(j==N-1)?'\n':' ');
// }
// }
printf("%d\n",(ans.a[0][0]%mod+mod)%mod);
return 0;
}