CCPC威海2021M. 810975

M. 810975

题意

进行了$n$场比赛，获胜$m$局，其中最长连胜是$k$，问有多少种情况。

题解

考虑$an{s}_k$为：进行了$n$场比赛，获胜$m$局，其中最长连胜大于等于$k$，问有多少种情况。
因为有$n-m$个负场，所以考虑把每个负场的周围当成空然后插入胜场。
枚举$i$为连续长度大于等于$k$的胜场次，枚举这些连续胜场所在的空，数量是${(}_i^{n-m+1})$，然后接下来的任意分配就可以，方案数是${(}_{n-m}^{n-ik})$，故
$$an{s}_k=\sum _{i=1}^{m-i\ast k>=0}(-1{)}^{i+1}{(}_i^{n-m+1}){(}_{n-m}^{n-ik})$$

最后输出$an{s}_{k+1}-an{s}_k$即可

特别的，如果考虑生成函数，枚举每一个空里面的胜场个数可以用多项式快速幂来做，最大胜场小于等于$k$的方案数可以由
$$an{s}_k=(1+x^2+..+x^k{)}^{n-m+1}=(\frac{1-x^k+1}{1-x}{)}^{n-m+1}$$
中次数为m的项系数来表示，然后答案就是$an{s}_k-an{s}_{k-1}$

#include
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=998244353;
ll poww(ll a,ll b)
{
    ll t=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)t=t*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return t;

}
ll P1[300005],P2[300005];
void init()
{
    P1[0]=P2[0]=1;
    for(int i=1;i<=300000;i++)P1[i]=P1[i-1]*i%mod;
    P2[300000]=poww(P1[300000],mod-2);
    for(int i=299999;i>=1;i--)P2[i]=P2[i+1]*(i+1)%mod;
}
ll C(ll n,ll m)
{
    return P1[n]*P2[m]%mod*P2[n-m]%mod;
}
int main()
{
    init();
    long long n,m,k;
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
    ll ans=0;
    if(k==0)
    {
        printf("%d\n",m==0);
        return 0;
    }
    for(ll i=1;i*k<=m;i++)
    {
        if(i&1)ans=(ans+C(n-m+1,i)*C(n-i*k,n-m)%mod)%mod;
        else ans=(ans-C(n-m+1,i)*C(n-i*k,n-m)%mod)%mod;
//        printf("ans=%lld\n",ans);
    }
    k++;
    for(ll i=1;i*k<=m;i++)
    {
        if(i&1)ans=(ans-C(n-m+1,i)*C(n-i*k,n-m)%mod)%mod;
        else ans=(ans+C(n-m+1,i)*C(n-i*k,n-m)%mod)%mod;
    }
    printf("%lld",(ans%mod+mod)%mod);

    return 0;
}

我也不知道为什么这么傻$B$的题目比赛的时候会卡？