洛谷P1226 快速幂||取余运算

前言

最近准备蓝桥杯和PAT甲级，刷了不少题，有看题解写的，有自己绞尽脑汁肝的，总算是有点收获吧，今天刷完了洛谷的第六个专题，回头看之前的代码，有点生疏了，不过学到的思想还在，正巧这几个专题都是搜索，分治相关的，于是打算写几篇题解回顾总结一下。今天要写的是一个快速幂的模板题，当时看到也是懵逼。

正文

题目

P1226

解析

该题在洛谷的标签是分治，题目出自于2017年NOIP普及组的完善程序第1题，之前没有系统学过分治，看到很懵逼，不过看了题解之后恍然大悟，现在尝试一下自己讲清楚，大体来说要对二进制，位运算有所了解。

• 这题的目标就是快速算出b^p，考虑到输入的b，p，k都是长整型的，一个b一个b乘效率很差，而且算出来的b^p可能会爆，那么我们很快就要明确下面两点：

1. 不要用pow()
2. 每一步算出来的临时值都要取模(刚开始这一点可能在你脑子里不直观，没关系，带着这个想法看到后面就知道了)

• 那么我们还有一个疑问，分治的思想体现在哪里呢，这就是我们要着重介绍的快速幂的算法，如上面所说，如果暴力的话复杂度显然是O(b)的，下面这种方法复杂度只有O(logb):

1. 我们知道任何一个数都可以用二进制表示，比如11，二进制下就是1011，它可以这样表示11 = 2³ + 2¹ + 2⁰，2的幂取值代表了二进制形式下该位上为1的位数-1，比如2³就代表1011中从右往左第4个1，这点学过二进制的应该很清楚了，不再赘述。
2. 有了第1点的预备知识，我们来看如何快速计算b^p呢？这里我们还2⁵举例：
   预处理：5 = (0101)b = 2² + 2⁰，做一个预备答案ans取1方便相乘，做一个基数base预先取的底数值。
   第一步：最后一位为1，因此答案 = 1 * base即 2，指数右移即 5 右移变为0010
   第二步：指数右移后要看的下一位就到了最后一位上，可以直观的看到为0，因此，ans不需要乘base，继续将指数右移变为0001，base *= base（想一想为什么要更新基数，提示：和指数位数有关）。
   第三步：最后一位为1，ans *= base，此时指数已经为0，算法终止。

• 注意点：因为底数和指数都是长整型，所以每次临时更新答案ans的时候都有可能会爆掉，因此，每一步更新ans和base都要取模！

3. 由于我们把指数用二进制表示，原本暴力解法要算n次，现在只要算logn次，再运算量大的情况下极大的提高了效率。

代码

/*
快速幂模板
求 b ^ p mod k
*/
#include 
using namespace std;

long long b, p, k;

/* 求 a^b */
long long quick_power(long long a, long long b, long long mod){
    long long ans = 1, base = a;
    while(b > 0){
        if (b & 1)
            ans = ans * base % mod;
        base = base * base % mod;
        b = b >> 1;
    }
    return ans;
}

int main(int argc, char const *argv[]){
    scanf("%lld%lld%lld", &b, &p, &k);
    printf("%lld^%lld mod %lld=%lld", b, p, k, quick_power(b, p, k) % k);
    return 0;
 } 

• 全a通过，如果不注意取模的话是拿不到满分的，日常夸一夸洛谷的界面...

  
  
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