【数值模拟】几何布朗运动数值解的模拟

学习了几篇文章：
随机微分方程数值解法
12 Python总结之蒙特卡洛模拟
微分方程数值分析基础：Euler法
Euler-Maruyama 方法数值算例

Euler方法表示几何布朗运动的数值解：

几何布朗运动的解析解：

给定，在选定区间上模拟数值解并与真实解对比，

代码如下，ipynb文件已上传到Github，或查看GBM模拟源代码：

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
# 创建一个数组储存我们的S，也可以将横纵坐标放在不同的数组中，曲线模拟的效果是相同的
def S(mu=0.05,sigma=1,s0=1,num=1000,long=1) :
 np.random.seed(666) # 给定一个随机种子，使每次模拟生成的随机数相同
 dt = long/num
 S = np.zeros((3,num))
 S[0] = np.linspace(0,long,num)
 S[(1,0)] = S[(2,0)] = s0
 dWt = np.sqrt(dt)*np.random.randn(num) 
 Wt = np.cumsum(dWt)
 S[2] = s0*np.exp((mu - 0.5*sigma**2)*S[0]+sigma*Wt) # 真实解
 for i in range(0,num-1):
     S[(1,i+1)] = S[(1,i)] + mu*S[(1,i)]*dt + sigma*S[(1,i)]*dWt[i] # 数值解
 return S 
# 写一个绘图函数，便于配置图像属性
def pict(n=1000) :
 # 配置画布
 fig = plt.figure(num=1, figsize=(10, 6.18),dpi=100)
 fig.suptitle('Geometric Brownian Motion')
 plt.xlabel('t')
 plt.ylabel('S(t)')
 plt.plot(S(num=n)[0],S(num=n)[1],'rx',label='Sim',linewidth=1)
 plt.plot(S(num=n)[0],S(num=n)[2],'b',label='True',linewidth=1)
 plt.legend()
#     plt.savefig(r'D:\JWE\图片\可视化\几何布朗运动的数值解.png')
 plt.show()

# 生成300个点进行对比
pict(n=300)

输出结果如图：

模拟300个点