用初中数学破解高考数学题:如何用面积公式实现转化?

【说明】

人教版的初中教材《数学-八年级上册》中介绍了三角形的重心概念和重心定理:三角形的三条中线相交于一点,三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.

然而,教材并未提供证明。我们自己动手,用面积公式来证明这一性质。


已知:三角形中, 分别为 边的中点, 与 交于点 , 交 边于点 .

求证: .


三角形的三条中线交于一点

【分析】

我们用一个小学级别的问题开局:

图中有几个三角形?

回答这个问题的办法是分类点数再汇总。

大三角形1个:;

小三角形6个:,,,,,;

由两个小三角形拼成的三角形3个:,,;

由3个小三角形拼成的三角形6个:,,,,,;

综上,图中共有16个三角形.


这16个三角形存在什么联系?

图中存在多对共高(或共边)的三角形。例如:以下3对三角形共高:

共高三角形的面积比等于底边之比。因此,由底边(线段)相等可推出面积相等;由面积相等也可以推出线段相等。

由已知条件中的两个中点可以推出几对面积相等的三角形;再利用等量传递可以推出新的面积相等,最后即可推出线段相等。


【证明】

同理可证:

. 证明完毕.


【补充说明】

目前的中学教材中对于三角形全等和相似强调得比较多;其实,在分析几何问题时,从面积的角度思考常常有意想不到的效果。张景中院士的《新概念几何》提供了更多例子,可供参考。


【应试指南】

至此为止,我们讨论的都是初中范围的问题。可能有人会提出质疑:说好的『用初中数学破解高考题』,高考题在哪呢?
其实,本文想向大家介绍的是一种方法,就是应用面积和体积公式实现转化,面积比可以转化为线段长度之比,体积比可以转化为面积比。

从面积的角度分析几何问题,门槛低,用途广。最近十年的高考数学中,有多个考题可以用上这一方法。


【真题实例】

2018年文科数学全国卷A题18 (立体几何)

2016年文科数学全国卷A题18(立体几何)

2014年理科数学全国卷A题20 (解析几何)


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