这道逢考必出题藏着什么“鬼”

从五年级下学期，学了《分数的意义》之后，类似“一条3米长的彩带，平均截成5段，每段长（  ）米，每段是全长的（  ）”的问题，逢考必出。为什么出题人偏爱这类问题？

在笔者看来，这道习题可以窥斑知豹，一叶知秋，很好地考察了学生对分数两重意义的理解程度。

众所周知，分数可以表示具体的数量，还可以表示两个量之间的倍数关系即分率。学生是否理解了分数的两重意义，通过这类习题的考察，可以进行很好地检测。

在实际检测中，不难发现这类问题对学生而言，往往是一个难点，也是一个易混点。一部分学生的答案是混乱的，带着很大的猜测成分。可以说，学生在对分数两重意义的正确理解上，是混淆不清的。

为什么会这样？一方面，教师的视界决定了学生的眼界，教师对相关数学知识存在着认知偏差，造成对学生的引领不到位；其次，是由学生的认知规律决定。分数是平均分物体时产生的，能用来表示具体数量，这是具体形象的，学生可以很容易实现认知的迁移，实现意义的建构。但分数能用来表示两种量的倍数关系，对于学生来说却是抽象的，在缺乏相关知识链接的情况下，学生是难以把握的。

从分数与除法的关系上，分数这两重意义，对应的正是除法的两种情况：“平均分”与“包含除”。比如在上述问题中求每段的长度这一具体数“量”时，本质上是除法中的平均分问题，是用全长除以平均分的段数；而在求每段是全长的几分之几时，是求每段与全长之间的倍数关系，在本质上是除法中的包含除问题。从意义关联上，“倍”概念的建立是借助“包含除”，而分率本质上是小于1的“倍”数。“倍”与“率”的区别在于，已知部分的大小，“倍”是问整体里面包含有几个部分；而“率”是问部分在整体里占多少。

其实，对于五年级下册“分数意义”的教学而言，分数”率”的意义才是核心，类似一种量占另一个量多大份额的问题是分数单元的本质所在。一旦实现有意义的建构，它将引向分数的比例定义，通向中学的有理数定义。

知道了这道题的评估价值，那么在引领学生解决这类问题时，也就有的放矢了。在实际教学中，我们不妨借助这两个问题引导学生去探究:

（1）这两个问题有什么不同？

（2）两个问题的解法上有什么异同之处？

在组织学生比较辨析后，再进行强化练习，往往就可以帮助学生正确解答，有效突破，形成数学直觉。

磨刀不误砍柴工，作为教师，要学会解读习题蕴含的数学价值，从而因地制宜、对症下药地帮助学生解决问题，形成技能，实现知识的合理建构。