今天做了四道 Best Time to Buy and Sell Stock 全部是用「动态规划」做的,有必要做个总结
0X00 一个基本事实
首先我们得理解这么一个基本事实
假设我们有五天的股票价格:[13, 3, 10 ,2, 1]
我们想求第 5 天和第 1 天的价格差,除了直接使用 1 - 13 还能使用: 3 - 13 + 10 - 3 + 2 - 10 + 1 - 2
也就是说:任意两天的价格差,等于中间所有价格差之和, 这一点非常重要
0X01 其实这三题是一道题
「Best Time to Buy and Sell Stock」1, 3, 4 其实是一道题
首先我们来看第一道题
121. Best Time to Buy and Sell Stock
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
if len(prices) == 0: return 0
m, n = len(prices), 3
record = [[0] * n for _ in range(m)]
for x in range(m):
if x == 0:
record[x][0], record[x][1], record[x][2] = 0, 0, 0
continue
record[x][1] = max(record[x-1][0], record[x-1][1] + prices[x] - prices[x-1])
record[x][2] = max(record[x-1][2], record[x-1][1] + prices[x] - prices[x-1])
return max(record[-1][0], record[-1][2])
首先动态规划第一步就是:判断是否合法
按照动态规划的四步骤:
- 根据最后一步确定子问题
- 写出转移方程
- 弄清楚边界和初始条件
- 确定计算顺序
最主要的还是根据最后一步确定子问题
由于我们只能进行一次买卖,所以我将整个过程分成三个状态
- 没买股票
- 买了,还没卖
- 卖了
根据这三个状态,我们来看最后一步,第 n 天时的每个状态的最大获利:
没买股票
一直没买股票,所以一直是 0
买了,还没卖
这个状态有两种情况
- 之前就有股票,一直没卖
- 今天刚买
而且!这个状态不可能是最后的最大获利状态,因为我不可能最后的时候还没卖
但是这个值很重要,因为下个状态要用到它,关键是这个状态该如何更新呢?
由于就两种情况,所以这个状态的最大获利 =
max(之前就有股票,一直没卖的最大获利, 今天刚买的获利)
其中:
之前就有股票,一直没卖的最大获利 = 昨天没卖的获利 + 差价
今天刚买的获利 = 昨天没买的获利
卖了
也有两个状态
- 昨天就卖了
- 今天刚卖
所以这个状态的最大获利 =
max(昨天就卖了, 今天刚卖)
其中:
昨天就卖了 = 昨天就卖了的获利
今天刚卖 = 昨天持有股票的获利 + 差价
188. Best Time to Buy and Sell Stock IV
这道题就更典型了,具体理解也是跟上面一样:
class Solution:
def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
if len(prices) == 0: return 0
m, n = len(prices), 2 * k + 1
if k > m / 2: return self.quickSolve(prices)
record = [[0] * n for _ in range(m)]
for x in range(1, m):
for y in range(1, n):
if y & 1 != 0:
# 要买股票的最大获利
# 前者是 今天才买 后者是 昨天有股票 一直持有
# 如果今天才买的收益大,意味着股票就不应该买, 整个计算截断
# 如果股票今天的收益 + 昨天的收益大 就表示一直持有这个股票,并且计算获利
record[x][y] = max(record[x-1][y-1], record[x-1][y] + prices[x] - prices[x-1])
else:
# 要卖股票
# 与之前不卖就有的收益, 今天卖了的收益
record[x][y] = max(record[x-1][y], record[x-1][y-1] + prices[x] - prices[x-1])
ans = 0
for y in range(2, n, 2):
ans = max(ans, record[-1][y])
return ans
def quickSolve(self, prices):
# f(x) = f(x-1) + max(0, p[x]-p[x-1])
m = len(prices)
record = [0] * m
for x in range(1, m):
record[x] = record[x-1] + max(0, prices[x] - prices[x-1])
return record[-1]
Best Time to Buy and Sell Stock III
直接拿上面那一题改的
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
k = 2
if len(prices) == 0: return 0
m, n = len(prices), 2 * k + 1
if k > m / 2: return self.quickSolve(prices)
record = [[0] * n for _ in range(m)]
for x in range(1, m):
for y in range(1, n):
if y & 1 != 0:
# 要买股票的最大获利
# 前者是 今天才买 后者是 昨天有股票 一直持有
# 如果今天才买的收益大,意味着股票就不应该买, 整个计算截断
# 如果股票今天的收益 + 昨天的收益大 就表示一直持有这个股票,并且计算获利
record[x][y] = max(record[x-1][y-1], record[x-1][y] + prices[x] - prices[x-1])
else:
# 要卖股票
# 与之前不卖就有的收益, 今天卖了的收益
record[x][y] = max(record[x-1][y], record[x-1][y-1] + prices[x] - prices[x-1])
ans = 0
for y in range(2, n, 2):
ans = max(ans, record[-1][y])
return ans
def quickSolve(self, prices):
# f(x) = f(x-1) + max(0, p[x]-p[x-1])
m = len(prices)
record = [0] * m
for x in range(1, m):
record[x] = record[x-1] + max(0, prices[x] - prices[x-1])
return record[-1]
122. Best Time to Buy and Sell Stock II
这道题不涉及多状态所以很简单
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
if len(prices) == 0:
return 0
# 用动态规划做这个题目
# f(x) = f(x-1) + max(0, p[x] - p[x-1])
record = [0] * (len(prices))
for i in range(len(prices)):
if i == 0: continue
record[i] = record[i-1] + max(0, prices[i] - prices[i-1])
return record[-1]
0X03 稍微总结一下
因为忙着刷题以及还有一个项目,每天留给总结的时间不多,博客质量比较差,以后会花更多的时间在总结上面