ANOVA test

内容

• ANOVA 定义
• 使用ANOVA目的
• 三种常见的ANOVA
• R中应用ANOVA

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1. ANOVA 定义
   Analysis of variance缩写成为ANOVA。中文叫做，变方分析或者变异数分析。

2. 使用ANOVA目的
   研究人员或者学生可以以不同的方法使用ANOVA检验。AVOVA的是用需要结合自己的研究设计。ANOVA分析是用来鉴定实验结果或者调查结果的差异显著性，就是比较两组数据直接是不是存在差异。

3. 三种常见的ANOVA
   ANOVA有三种使用方法，分别是one-way ANOVA, two-way ANOVA, 和N-way ANOVA。

one-way ANOVA：当使用one-way ANOVA时候只会有一个独立变量。比如，评估不同国家的IQ水平。这里国家可以是2个，也可以是20个。所以国家就是一个独立变量

two-way ANOVA （factorial ANOVAs）：当使用two-way ANOVA时候会有两个不同的变量。比如，评估不同国家的IQ，同时还要比较不同性别的IQ。IQ：the dependent variable
国家：independent variable 1，性别：independent variable 2

N-way ANOVA： 当有更多的独立变量时候，应该采用N-way ANOVA。n就是独立变量的数目。比如，同时分析不同国家的，性别的，年龄阶段的，种族的，潜在的智商IQ差异。

4. R中应用ANOVA
   单因素方差分析。
   以moltcomp包中的cholesterol数据集为例，50个患者接受低胆固醇药物的治疗（trt），一共五种不同疗法。分析五种药物治疗方法效果是否不同。

library(multcomp)
attach(cholesterol)
##
head(cholesterol)
dim(cholesterol)
table(trt) # 5 different group

##
> aggregate(response,by=list(trt), FUN=mean) # mean value of response for each group
  Group.1        x
1   1time  5.78197
2  2times  9.22497
3  4times 12.37478
4   drugD 15.36117
5   drugE 20.94752
> aggregate(response,by=list(trt), FUN=sd) # sta value of response for each group
  Group.1        x
1   1time 2.878113
2  2times 3.483054
3  4times 2.923119
4   drugD 3.454636
5   drugE 3.345003

## ANOVA
fit = aov(response~ trt)
summary(fit)
Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
trt          4 1351.4   337.8   32.43 9.82e-13 ***
Residuals   45  468.8    10.4                     
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

## plot

library(gplots)
plotmeans(response ~ trt, xlab="Treatment", ylab="Response", main= "Mean Plot \nwith 95% CI")
detach(cholesterol)

Screen Shot 2019-08-30 at 4.10.18 PM.png

结论：ANOVA对治疗方法（trt）的F检验非常显著（p<0.0001）,说明了五种治疗方法的效果不同。

多重比较
ANOVA对各种疗法的F检验表明了五种药物的疗法是不同的，但是不能揭露哪种疗法与其他疗法不同。下面通过多重比较来解决这个问题。TukeyHSD函数提供了对各组均值差异的成对检验。

> TukeyHSD(fit)
  Tukey multiple comparisons of means
    95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = response ~ trt)

$trt
                  diff        lwr       upr     p adj
2times-1time   3.44300 -0.6582817  7.544282 0.1380949
4times-1time   6.59281  2.4915283 10.694092 0.0003542
drugD-1time    9.57920  5.4779183 13.680482 0.0000003
drugE-1time   15.16555 11.0642683 19.266832 0.0000000
4times-2times  3.14981 -0.9514717  7.251092 0.2050382
drugD-2times   6.13620  2.0349183 10.237482 0.0009611
drugE-2times  11.72255  7.6212683 15.823832 0.0000000
drugD-4times   2.98639 -1.1148917  7.087672 0.2512446
drugE-4times   8.57274  4.4714583 12.674022 0.0000037
drugE-drugD    5.58635  1.4850683  9.687632 0.0030633

可以看到2times和1time的均值差异不显著（p=0.138），而1time和4times均值差异非常显著（p=0.00035；p<0.001）。
成对比图型如下。

plot(TukeyHSD(fit))

Screen Shot 2019-09-30 at 3.38.53 PM.png

library(multcomp)
par(las=1)
par(mar=c(5,8,4,2))
tuk = glht(fit, linfct=mcp(trt="Tukey"))
plot(cld(tuk,level=.05),col="lightblue")

Screen Shot 2019-09-30 at 3.36.38 PM.png