X6-4、java数据结构---斐波那契(黄金分割)查找算法【2020-12-24】

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1、斐波那契(黄金分割法)查找基本介绍:

1. 何为黄金分割点
   黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个神奇的数字，会带来意向不大的效果。

   
   
   

   image.png
2. 何为斐波那契
   斐波那契数列 {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 } 发现斐波那契数列的两个相邻数 的比例，无限接近 黄金分割值0.618

2、斐波那契(黄金分割法)原理:

1. 斐波那契查找原理与前两种(二分和插值)相似，仅仅改变了中间结点（mid）的位置，mid不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近，即 mid=low+F(k-1)-1（F代表斐波那契数列）

   
   
   

   image.png
2. 对公式 F(k-1)-1 的理解：
   (1)由斐波那契数列 F[k]=F[k-1]+F[k-2] 的性质，可以得到 （F[k]-1）=（F[k-1]-1）+（F[k-2]-1）+1 。
   该式说明：只要顺序表的长度为F[k]-1，则可以将该表分成长度为F[k-1]-1和F[k-2]-1的两段，即如上图所示。从而中间位置为mid=low+F(k-1)-1
   (2)类似的，每一子段也可以用相同的方式分割
   (3)但顺序表长度n不一定刚好等于F[k]-1，所以需要将原来的顺序表长度n增加至F[k]-1。这里的k值只要能使得F[k]-1恰好大于或等于n即可，由以下代码得到,顺序表长度增加后，新增的位置（从n+1到F[k]-1位置），都赋为n位置的值即可。

3、代码：

/**
 * title: 斐波那契查找
 * @author 阿K
 * 2020年12月24日 下午11:34:16 
 */
public class FibSearch {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = { 1, 8, 10, 89, 1000, 1234 };
        System.out.println(fibSearch(arr, 11));
    }

    /**
     * 为了得到 mid = low + F(k-1)-1,固需要得到一个斐波那契数列
     * 
     * @param a
     * @return
     */
    private static int[] fib(int maxSize) {
        int[] f = new int[maxSize];
        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i < f.length; i++) {
            f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
        }
        return f;
    }

    /**
     * 斐波那契查找算法
     * 
     * @param arr 查找原始数组
     * @param key 查找的关键码
     * @return -1 表无找到
     */
    public static int fibSearch(int[] arr, int key) {
        int low = 0;
        int high = arr.length - 1;
        int k = 0;// 表斐波那契分割值的下标
        int mid = 0;// 存放mid值
        int[] f = fib(arr.length);// 获取斐波那契数列

        // 获取斐波那契分割值的下标
        while (high > f[k] - 1) {
            k++;
        }

        // 因 f[k] 的长度 可能大于 arr 的长度，因此 需要构造一个辅助数组 int[] temp
        // 不足的部门使用 0 补充【暂】
        int[] temp = Arrays.copyOf(arr, f[k]);
        // 补零 应为 arr数组的最后一个值 填充到 temp
        // eg：{1,8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0} => {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234, 1234}
        for (int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
            temp[i] = arr[high];
        }

        // 使用 while ,查找 key
        while (low <= high) {
            // 公式：开始不必多问，会慢慢理解
            mid = low + f[k - 1] - 1;
            if (key < temp[mid]) {// 应继续向数组的左边查找(前面
                high = mid - 1;
                // 说明： 为何 k--
                // 1、故 全部元素 = 左边数组 + 右边数组
                // 2、f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                // 3、因 前面有 f[k-1] 个元素，所以可以拆分为 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]
                // 4、既在 f[k-1] 的前面继续查找 ， k--
                // 5、既 下次的循环就是 f[k-1-1] -1
                k--;
            } else if (key > temp[mid]) {// 应继续向数组的右边查找(后面
                low = mid + 1;
                // 说明： k-=2;
                // 1、故 全部元素 = 左边数组 + 右边数组
                // 2、f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                // 3、因 后面有 f[k-2] 个元素，所以可以拆分为 f[k-1] = f[k-3]+f[k-4]
                // 4、既在f[k-2] 的前面继续查找，k-=2
                // 5、既 下次的循环就是 f[k-1-2] -1
                k -= 2;
            } else {// 找到
                    // 需要确定返回的下标
                if (mid <= high) {
                    return mid;
                } else {
                    return high;
                }
            }
        }
        return -1;
    }
}