数据结构之二叉树

一、树
1.1树形结构

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1.2 基础知识
以多叉树为例：
节点：树上每一个元素都称为节点。例如：1，2，3，4，5，6，21，22，31......
根节点：一棵树只有一个根节点，例如：1
父节点：例如：1可以称之为2，3，4，5，6的父节点
子节点：例如：2，3，4，5，6可以称之为1的子节点
兄弟节点：同一个父节点下面的节点。例如：21，22/51，52

一棵树可以没有任何节点，称为空树。
子树：将下面的节点联合起来看成一颗全新的树。子树可分为左子树和右子树。
节点的度：子树的个数。例如：1--->5;2--->2;3--->1;
树的度：所有节点度中最大值
叶子节点：度为0的节点：例如：21，221，222，223，51......
非叶子节点：度为非0的节点。

层数：根节点在第1层，根节点的子节点在第2层，以此类推......
节点的深度：从根节点到当前节点的唯一路径上的节点总数。例如：2经历了1-2所以深度为2，31经历了1-3-31所以深度为3

节点的高度：从当前节点到最远叶子节点的路径上的节点总数。例如：2--22-221，所以高
度为3

树的深度：所有节点深度的最大值
树的高度：所有节点高度中的最大值
注意：一般来说，树的深度等于树的高度

有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系
无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系
二、二叉树
2.1 二叉树（有序树）
特点：1.每个节点的度最大为2（最多拥有2棵子树）
2.左子树和右子树是有顺序的
3.即使某节点只有一棵子树，也要区分左右子树

2.2 二叉树的性质
1.非空二叉树的第i层，最多有2^(i-1)个节点（i>=1）
2.在高度为h的二叉树上最多有2^h-1个节点(h>=1)
3.对于任何一颗非空二叉树，如果叶子节点个数为n0，度为2的节点个数为n2，则：n0=n2+1
假设度为1的节点个数为n1，那么二叉树的节点总数n=n0+n1+n2
二叉树的边数T=n1+2*n2=n-1=n0+n1+n2-1
化简得：n0=n2+1

2.3 真二叉树和满二叉树
真二叉树：所有节点的度都要么为0，要么为2

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满二叉树：所有节点的度都要么为0，要么为2，且所有的叶子节点都在最后一层。

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在同样高度的二叉树中，满二叉树的叶子节点数量最多，总节点数量最多
满二叉树一定是真二叉树，真二叉树不一定是满二叉树

假设满二叉树的高度为h(h>=1)
第i层的节点数量：2^(i-1)
叶子节点数量：2^(h-1)
总结点数量n=2^h-1
h=log2(n+1)

2.4 完全二叉树
2.4.1 概念
完全二叉树：叶子节点只会出现在最后2层，且最后1层的叶子节点都靠左对齐。

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完全二叉树从根节点到倒数第二层是一颗满二叉树
满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树

2.4.2 性质
1.度为1的节点只有左子树
2.度为1的节点要么是1个，要么是0个
3.同样节点数量的二叉树，完全二叉树的高度最小
4.假设完全二叉树的高度为h(h>=1),那么
至少有2^{(h-1)个节点(2}0+2¹⁺²2+......+2^(h-2)+1)
最多有2^{h-1个节点(2}0+2¹⁺²2+......+2^(h-1),满二叉树)
h-1<=log2(n)

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