离散时间信号与系统-频域:5

23.正交基

任何数学都是对集合的一种描述。而线性代数是指一个空间,这个空间由相互独立的基构成。空间的维度指基的个数。空间中的任何一点(是一个向量)都可以由基的线性组合进行描述。线性变换指的是将空间一个点到另一个点的运动的描述。

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基具有两个性质:

Span:空间中的任何一个向量都可以由基的线性组合构成,基也是一个向量,所以其线性组合仍然是个向量
相互独立:基中的任何一个向量都不可以由基中的其他向量表示。

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基(向量)以的形式排成N*N的基矩阵B。将尺度(权重)排成列向量,注意alpha_k是个标量,alpha_k是个标量,alpha_k是个标量。Ba的结果仍然是向量,调节权值系数a,就可以得到空间中的任何一点。

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正交基单位正交基

正交基中的任意两个向量的内积为0,因为他们相互独立。单位正交基的任意向量长度(幅值)为1(自己关于自己的内积,2范数)

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矩阵的逆运算,引入逆运算是为了利用B和x求权值系数a。

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实数范围内:正交矩阵等于该矩阵的转置。复数范围内:复数正交矩阵叫做酉矩阵。  它的复数共轭转置表示。关键前提是正交。

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利用正交单位基表示信号,合成和分析的两个概念。

利用正交的基(矩阵),就可以得到该空间中的任何一点(任何一个信号),即Ba可以表示任何一个信号,这个叫做合成。想想那个多个乐器mix的故事,我们可以认为每个乐器的信号都为B中一列,利用不同的权值系数alpha,可以将多个乐器的信号进行mix。

合成的反向操作叫做分析,就是利用B和信号x,求权值系数的过程,此时用到了B的的概念。实数正交矩阵中矩阵的逆与其转置相同。酉矩阵就利用BH表示逆矩阵。

所以,求某个基上的系数alpha时,就是用该向量x与该基的内积 ()。 两层含义:两个向量的相似程度; 信号x在该基轴bk上的投影。

在复数计算的时候需要注意:矩阵B的每一列表示某个维度上的基,共轭转置操作使得每一列转为行的同时复数部分进行了取反,所以信号x与bk的相似程度的计算实际上是x与bk的共轭的内积,这是复数内积的定义。

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总结:

在信号处理领域,a就是信号x的坐标系从I变换到B之后的信号,所以a与x是同一个信号,在不同空间的表示。所以a当然含有全部的x的信息。

ak表示x与bk的内积,bk是复数,所以内积的计算结果k>与k的共轭>相等(星号指bk的共轭),也是为什么BH中的每一行与x的内积等于k>.

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24.特征分析

矩阵A乘以它的特征向量不改变向量的方向,只改变向量的强度,改变的尺度为lambda

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将一个矩阵的所有特征值和特征向量放在一起。注意放在一起时,特征值矩阵放在后面,特征向量矩阵放在前面。每个特征值列向量只对其对应的特征向量起作用。Amazing!!,都放在一起了。

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对角化: 利用特征值,将一个矩阵转化成对角矩阵(对角化)。

任何一个矩阵都可以对角化,Amazing!!!,这个对角化的矩阵也就是该矩阵所代表的空间的基吧。

重要:特征向量与和对角矩阵(特征值矩阵),含矩阵A的全部信息。 (例如:所以前面的B可以利用对角矩阵代替了呀。)

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总结:

特征值和特征向量含有矩阵中的全部信息。

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25.线性时变不系统的特征分析(有限信号)

计算系统H的特征值和特征向量,特征向量是输入信号,同时也在输出端,只不过输出端时该输入信号的缩放结果(缩放尺度为特征向量)。记住:h是脉冲响应,也是第H第0列的值.

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LTI系统的特征向量

直接上结论:H矩阵的特征向量就是复数谐波正弦(harmonic sinusoids),有限信号的的H,所以N的长度一定,此处将谐波正弦信号进行单位化。

复数谐波正弦函数:e^j2pikn/N,相互正交,正交基一定是特征向量。k是第k个信号,n是信号自变量(例如时间)。根号N是单位化。

每个复数谐波信号经过系统H之后,只是尺度发生了变化,方向不变化。除了谐波正弦,还有别的特征向量存在。但是谐波正弦最好用。

原始信号(左面)的复数部分的lambada勾掉。

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证明:谐波正弦LTI系统的特征向量。

将谐波(向量)通过LTI系统H,得到特征向量的性质(该向量只有尺度发生了变化).

所以,任意LTI系统的特征向量都是长度为N的谐波集合。

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傅里叶变换:

LTI系统对应信号sk(谐波正弦)的特征值lambda也叫作在频率k处频率响应(该信号通过系统H),也就是输入信号sk系统响应。也表示冲击响应h[n]与信号sk[n]的相似程度。

ak表示x与bk的内积,bk是复数,所以内积的计算结果k*>相等(星号指bk的共轭)--内积定义。

这个过程就是傅里叶变换,这个lambda就是傅里叶空间的基对应的权重。(将信号从原来的时域空间,轴坐标为n,切换到频域,轴坐标为lambda_k),每个频率坐标都是一个谐波取不同的K值

所以,不断的更改K值,就可以得到每个频率的频率响应lambda,最后得到H的全部特征值和特征向量。即整个频域信息。

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每个谐波以列的方式进行画图,纵轴是n,横轴是k(表示频率,长度为N的信号中含有周期的个数),n和k都是从0到N-1. 每个点n处的幅值(有正有负)。

例如:k=1时,实数部分:第二列从上到下表示只含有一个周期的信号,不同的n代表了信号不同的值(是一个完整的余弦波);虚数部分:也是只含有一个周期的正弦波。k=2时,N内含有两个周期...以此类推。

特别现象:k=1与k=N-1的实数部分完全相同,虚数部分取相反数。(因为角度theta在k=1处与k=N-1处取相反数,k=1为正,k=N-1为负)

另外:k与n的地位相同,所以他们有对称性,沿着主对角线对称哦。 所以,S=ST。(转置T与逆完全不同,只有在酉矩阵中,复数矩阵的逆才等于它的转置H)

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将所有的lambda进行排列,得到非标准化的对角矩阵。

前面的式子当中符号写错了,应该是n而不是m,h[n]表示的是向量,h[n-m]表示的是元素,切记。

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利用这个正交矩阵就可以对LTI系统H进行分解。

还记的a=BHx,ak就是衡量x与bk的相似程度的么?此处h[n]代表的是x,而sk[n]表示的是B,每个k代表B中的一列,所以BH取其共轭转置,即e^(-j2*pi*k*n/N).稍后有更详细的解释。

Ok,傅里叶变换的图像表示:

所有谐波按照构成傅里叶空间的基。所以,再得到该空间各个基对应的权重lambda就可以表示在该空间中的信号了。

原始问题为:在时域空间,信号x经过系统H得到信号y。

问题转化:将时域空间系统H转到频域空间

所以整个过程为: 将时间域内的信号转移到频域空间操作。所以原来的x和H都要先转到频域空间。其中,SH将信号x进行傅里叶变换(SH与x相乘)转到频域空间,频率响应矩阵是系统H经过DFT之后的结果(这个结果很好,因为每个列或叫基是正交的),信号在频域空间操作完之后,最后再乘反傅里叶变换S得到时域信号y。

以下指示信号的实数部分,虚数部分类似。信号可以看成是实数部分与虚数部分的相加。

中间的对角线矩阵就是使用特征值构造的,就是DFT的结果。在后面对无限信号的分析十分有用。

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总结:

谐波就是有限信号的LTI系统的特征函数(本征函数),构成空间的基。

因此,傅里叶变换试分析LTI系统的好工具,因为特征值矩阵就是LTI系统的频率响应。

频率响应都是冲击信号的傅里叶变换。

线性代数中,特征分解(Eigendecomposition),又称谱分解(Spectral decomposition)是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。
需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。

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26.离散傅里叶变换(DFT)

所有的信号都可以由正弦信号的线性组合构成。在CN和RN中成立。

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信号可以使用标准正交基构成,信号是该组基构成了空间中的一个向量。

ak:表示ak对应的基bk和信号x相似程度,例如某个向量与坐标系的每个基进行内积,就得到了在该基向量上的权值(尺度),是标量。也表示该信号与该基的相似程度。
神奇,神奇,神奇。空间中的每个向量(信号)都是基的线性组合,而每个基对应的权值系数严格等于向量(信号)与该基的内积(复数域内是该基的共轭与信号的内积),就是他们的相似程度。

注意:bk就是基;注意x和a可以相互循环

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谐波之间是相互正交的,可以转化为标准正交基

假设谐波的定义域为N(与信号长度相同),那么在该谐波集合中,一共含有N种谐波(从k=0到k=N-1个周期的情况),可以构成N维空间。(所以可以表示LTI系统中H为N的情况,因为H也是N维空间的值)

例如下面的S2[n],即k=2,表示该谐波在N=16内具有两个完整周期。

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谐波的标准正交基矩阵:将标准化以后的谐波,按照列的方式排布,得到N*N的复数矩阵。

k=1时,实数部分:第二列从上到下表示只含有一个周期的信号,不同的n代表了信号不同的值(是一个完整的余弦波);虚数部分:也是只含有一个周期的正弦波。

k=2时,N内含有两个周期...以此类推。

上图的信号S2[n]就是下图k=2时的列。

 

特别:

k=1与k=N-1的实数部分完全相同,虚数部分取相反数。(因为角度theta在k=1处与k=N-1处取相反数,k=1为正,k=N-1为负)

k与n的地位相同,所以他们有对称性,沿着主对角线对称哦。 所以,S=ST

S为酉矩阵,所以S-1=SH(共轭转置,也叫伴随,矩阵先转置,再取共轭),因为转置与原矩阵相同,所以SH就是在S基础上直接取共轭,即S*。

所以图像上任何一点都可以直接得到。

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谐波正交矩阵的转置:

转置、共轭、共轭转置、伴随矩阵、逆矩阵的概念:

转置就是将矩阵的行与列互换,用T表示;
共轭是指复数的实数部分不变,虚数部分取反,用帽子上一个横线表示;
共轭转置就是先将矩阵进行转置,然后再取共轭(也叫伴随)用H或者*表示;
逆矩阵是指与原矩阵相乘为单位矩阵的矩阵,用-1表示

S为酉矩阵,所以S-1=SH共轭转置,也叫伴随,矩阵先转置,再取共轭),因为转置与原矩阵相同(S=ST),所以SH就是在S基础上直接取共轭,即S*。

最后得到强大的公式:S矩阵的逆,等于矩阵的复数共轭转置,等于矩阵的共轭。

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插播:解决了一个巨大的疑惑:为什么e^(-j2*pi*k*n/N)与h的内积与相等,因为内积的定义就是这么定义的!!!!!

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通过谐波对信号进行表示:

假设X和x属于不同的空间(频域和时域),那么我们就利用谐波进行空间的转换。

将已知的信号x进行分析(相当于Ba中得到权值系数a的过程)就叫做前向标准化傅里叶变换。

而利用权值系数构造信号x就是合成

即x=Ba。此处的B为S,即基矩阵。a为X(lambda表示未经过标准化的),表示权值系数。

所以,任意有限信号都可以进行频域分析(将其转化为频域),具体为求出每个频段的权值系数,表示该信号与该频率的正弦信号的相似程度(k>),相似程度越高,权值越大。

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进一步解释:

DFT傅里叶变换系数X[k]表示信号与谐波的相似程度,相当于将信号输入到谐波构成的向量空间中去。是分析过程

IDFT是将频域的信号转回到时间域。

将信号在时域和频域内进行转化。

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例子:

从公式中我们可以看出,傅里叶变换系数(DFT coefficients)含有很多复数,所以即使信号x是实数信号,DFT cofefficients一般情况下也是复数

在频域内的纵坐标是X[k]的幅值(长度),因为信号X是个复数, 所以将幅值可以将实数部分和复数部分结合在一起。

|X[5]|表示信号x与S5的相似程度,S5表示的是在32个样本点中,一共含有5个周期的正弦谐波。

|X[5]|和绿色的|X[15]|进行比较,我们就发现信号与低频的谐波相似度更高,与高频谐波相似度很低。

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平时,我们应用非标准化的DFT更多,因为很多时候根号计算得不到有限得数。例如根号32. u表示unnormalized,1/N来历如下:X[k]={1/sqrt(N)}X_u[k],所以在x[n]中,将两个根号N相乘,得到系数1/N.

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总结:

傅里叶变换系数X含有信号x的全部信息。(包含了隐藏条件,因为谐波矩阵是已知的)

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 练习题,源代码:

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图像如下。将一个声音信号进行频域分析,注意以下几点:

直接进行FFT,得到一些值很小(蓝色圆圈内),但是他们可能很有用。

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所以,对他们取log,得到了信号的信噪比。此时,有值的频率区域都被放大了(绿色圆圈),更有助于分析。例如设计滤波器。

最后,将信噪比信号进一步移位,得到了以中心对称的信号,这样更有助于滤波,我们甚至可以丢掉小于0的部分。

 


27.傅里叶变换的性质

综上,傅里叶变换可以对任何有限信号x[n]进行分析,信号也可以在频域和时域之间无损变换。具体如下。X[k]叫做分析,k表示不同频率(不同基),X[k]表示信号与该基的相似程度,作图的时候使用幅值|X[k]|。

而x[n]表示信号的合成,是信号在频域空间的一种表示,基与各基对应的权值系数构成的向量的内积。

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傅里叶变换后的值X[k]也可以看成是一种信号,该信号可以使用周期信号进行解读

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DFT中频率k的含义是不同频率的谐波信号,具体表示信号的长度N中含有k个周期的正弦函数(正弦和余弦的统称)。

k与角速度omega是对应的!

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DFT是以N为周期。

例如:第-1+N个点处的值X[-1+N]=X[-1]=X[(-1)N],所以虽然k比较大,但是当k靠近N的时候,X[k]实际与低频信息相等。

回忆:周期性可以用圆环模运算表示,X[N-1]相当于X[(-1)N],即向相反方向旋转一下:

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如果N=16,k=15。相当于k=-1时的幅值。k=-1表示该谐波在N上面只有一个周期。

如图k=1时,谐波的实数部分为一个余弦信号(红色部分),负号表示谐波的虚数部分(正弦)是普通正弦的取反(蓝色)。

如图k=-1时,实数部分不变(偶函数),虚数部分变为相反数(奇函数)

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任意长度N的范围内都可以得到信号的全部频率信息。

例如正常情况下,DFT得到的k从0到N-1,(红色方块)。但是,从-N/2到N/2仍然是全部的频率信息,(左面的轴完整的移动到右侧)。

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DFT的频率范围,每个长度N的间隔都含有相同的信息(信号的频域信息)。

常用两种:[0,N-1]和[-N/2,N/2],分别代表了[0,2pi]和[-pi,pi]。 其中,[0,2pi]的低频区域在两边,[-pi,pi]的低频区域在中间。非常重要的位移。 非常重要的位移。 非常重要的位移。也叫FFTshift

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快速傅里叶变换的移位:

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逆傅里叶变换是周期的,周期是N。

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DFT变换对之间的圆环位移。时域的时间移位对应频域的相位移位。

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 相反,频域的circular shit等于时域的phase shift。

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DFT将信号的循环卷积频域的乘积相对应。卷积与乘积的转化。

Hu表示的是冲击信号的频域响应。

证明如下:

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傅里叶变换是线性的:

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补充知识:Amplitude 和 Magnitude
Amplitude refers to the maximum deviation from zero that can be taken by a periodically varying quantity.表示峰值的大小(波峰,波谷),一个正数。 翻译:振幅
Magnitude refers to the size of a quantity regardless of the direction. 表示一个向量的尺寸(长度),一般是二范数。翻译:模长


DFT是个虚数,该信号有两种表示方法:以实部合虚部表示;或者以幅度合相位进行表示。

总结及相关证明。

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 有限信号及其傅里叶变换是具有对称性的,信号是偶函数,则DFT也是偶函数;相反也成立。

对称性。 如果信号x[n]是实数信号,则有X[-k]=X[-k]*,说明X函数是一个实数部分偶函数,虚数部分奇函数的函数。证明如下。

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总结如下:

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证明如下:

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-k与k的关系,因为X[k]是周期函数,所以[-k+N]相当于[-k]。

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将图像进行fft移位,就可以看到更明显的对称性。

在实数部分和模长是偶信号

在虚数部分和相位是奇信号

所以,很多场合就留下了一半的信号,左半轴。

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在看总结结果:

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 仔细观察DFT,我们看的出来信号的分析与合成两个公式只差了一个负号,也就是说x[n]成立的性质,X[-k]也是成立的,所以X[k]如果是实数,那么信号x的实部也是偶函数,虚部是奇函数。

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快速傅里叶变换(略) 

快速卷积(略) 

利用FFT对循环卷积进行快速计算。


28.更多的正交基

有了正交基,我们就可以利用基矩阵与该基上的权值系数对信号进行表达。

计算权值系数apha的过程叫做分析。计算信号的过程叫做合成

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之前,我们学习了傅里叶分析,也就是将信号从时域转换到以谐波为基的频域,谐波复数哦,复数哦,复数哦。

对正交基进行进一步研究,就提出了两个挑战:可不可以用更少的基来表示信号?(压缩问题)是否还存在其他的空间可以对信号有更好的表达?

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例如:我们找到了一个正交基函数是实数的空间,对应变换叫做离散余弦变换(DCT)。基函数的长度为N,不同的k表示不同维度上的基。基函数本身不一定是周期的,例如d3

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傅里叶变换的基与DCT的基的比较可以看出DCT没有复数部分,但S=ST(正交基性质)。

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假设有一段信号,我们分别对其进行DFT和DCT,不难发现,DFT变换后的数据量变为2N,即100,并且实数部分的相关系数值很小(相较复数部分,就可以省略).而DCT后的数据量为N,还是50. 所以DCT比DFT数据量更小,可以更好的起到压缩的作用。

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例子2: 音乐就是时域和频域信号的共同表达。横轴是时间,纵轴是频率。想想一下最后合成的一个音乐(波)。

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小波变换就是将信号转换为时域和频域的联合,小波变换的基不是整个信号周期上的函数,而是一段时间上的函数,由于每个时间段的函数不一样,所以是关于时间的函数,同时每个时间段上的频率也不同,即也是关于频率的函数,所以基既是时间函数,也是频率函数。

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其中,Harr小波变换是最简单的小波变换,如下所示的基只含有两个点。 每个颜色代表不同的基。

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如下例子中红色代表正数,绿色代表0,蓝色代表负。 Harr小波中可以看到第一列全是1,第二列时一半正1,一半负1;第三列是1/4是正1,第二个1/4是负1.以此类推,每个基函数都是跟k和n相关的,所以是一个时-频基函数。

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短时傅里叶变换是分析信号在不同时间,不同频率上的变化,也叫局部傅里叶分析

STFT具有两个特点:基不一定是正交的(不同时间上的基);也不是对长度为N的信号分析得到N个相关系数。实际上他们利用N个样本点得到很多很多相关系数。

 步骤:

设定一个窗口,利用窗口将窗口以外时段信号的值变为0。对窗口内的信号进行DFT,然后将结果以列的形式存储。

移动窗口,重复上述过程,得到所有子时段的DFT及相关系数矩阵。横轴是时间,纵轴是频率,左下角为原点。

所以,相关系数矩阵非常大,与窗口的大小和移位大小m有关系。

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例如下列为信号的STFT分析,可以看到在低频并且时间为中间的区域为能量较高的区域,即信号在该时间段的主要频率为低频。由此可以得到信号更加全面的信息。

整个图像的大小是远远大于N的。

 离散时间信号与系统-频域:5_第69张图片

谱图的构成如下:

离散时间信号与系统-频域:5_第70张图片

总结如下:

离散时间信号与系统-频域:5_第71张图片

 

转载于:https://www.cnblogs.com/Matrix420/p/6240802.html

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