信号与系统：第二章 线性时不变系统

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第二章 线性时不变系统 Linear Time-invariant System

假设一个线性时不变系统： fi(t)→yi(t),i=1,2,... f i ( t ) → y i ( t ) , i = 1 , 2 , . . .

假设有 f(t)=∑ni=1aifi(t−ti) f ( t ) = ∑ i = 1 n a i f i ( t − t i ) ，因为线性时不变，故有响应 y(t)=∑ni=1aiyi(t−ti) y ( t ) = ∑ i = 1 n a i y i ( t − t i )

离散时间线性时不变系统：卷积和(Discrete-time LTI System: The Convolution Sum)

用脉冲表示的离散时间信号(The representation of discrete-time signals)

x[n]=...+x[−1]δ[n+1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n−1]+... x [ n ] = . . . + x [ − 1 ] δ [ n + 1 ] + x [ 0 ] δ [ n ] + x [ 1 ] δ [ n − 1 ] + . . .

x[n]=∑k=−∞+∞x[k]δ[n−k] x [ n ] = ∑ k = − ∞ + ∞ x [ k ] δ [ n − k ]

将离散时间信号当成一串单个脉冲，称为离散时间单位脉冲序列的筛选性质（sifting）

系统的离散信号的卷积和表示(The Convolution-Sum Representation of LTI System LTI)

δ[n]→h[n] δ [ n ] → h [ n ]

δ[n−k]→h[n−k](time invariance) δ [ n − k ] → h [ n − k ] ( t i m e   i n v a r i a n c e )

x[k]δ[n−k]→x[k]h[n−k](homogeneous) x [ k ] δ [ n − k ] → x [ k ] h [ n − k ] ( h o m o g e n e o u s )

∑k=−∞+∞x[k]δ[n−k]→∑k=−∞+∞x[k]h[n−k](additivity) ∑ k = − ∞ + ∞ x [ k ] δ [ n − k ] → ∑ k = − ∞ + ∞ x [ k ] h [ n − k ] ( a d d i t i v i t y )

y[n]=∑k=−∞+∞x[k]h[n−k]=x[n]⋆h[n] y [ n ] = ∑ k = − ∞ + ∞ x [ k ] h [ n − k ] = x [ n ] ⋆ h [ n ]

我们用 x[n]⋆y[n] x [ n ] ⋆ y [ n ] 表示 ∑+∞−∞x[k]h[n−k] ∑ − ∞ + ∞ x [ k ] h [ n − k ] ，称为卷积和

系统在 n n 时刻的输出包含所有时刻输入脉冲的影响，即对于输出y[n] y [ n ] ，输出在 n0 n 0 时刻的值 y[n0] y [ n 0 ] 包含所有时刻输入脉冲的影响： y[n0]=∑+∞k=−∞x[k]h[n0−k] y [ n 0 ] = ∑ k = − ∞ + ∞ x [ k ] h [ n 0 − k ]

h[n] h [ n ] 也被称为系统的零状态响应

卷积和的计算：

1. 利用定义：

eg：

x[n]=αn⋅u[n],h[n]=u[n] x [ n ] = α n ⋅ u [ n ] , h [ n ] = u [ n ] ，求 x[n]⋆h[n] x [ n ] ⋆ h [ n ]

x[n]⋆h[n]=∑+∞k=−∞x[k]h[n−k] x [ n ] ⋆ h [ n ] = ∑ k = − ∞ + ∞ x [ k ] h [ n − k ]

                  =∑+∞k=0αku[k]u[n−k]                                     = ∑ k = 0 + ∞ α k u [ k ] u [ n − k ]

                  =∑nk=0αk,(n≥0)                                     = ∑ k = 0 n α k , ( n ≥ 0 )

1. 图解法

   （1）反折： h[n]⇒h[k]→h[−k] h [ n ] ⇒ h [ k ] → h [ − k ]

   （2）平移： ⇒h[n−k] ⇒ h [ n − k ] （n大于0是右移，n小于0是左移）

   （3） x[k]h[n−k] x [ k ] h [ n − k ] 对于每一个不同的n求积

   （4）对于每一个n求和： x[n]⋆h[n]=∑+∞k=−∞x[k]h[n−k] x [ n ] ⋆ h [ n ] = ∑ k = − ∞ + ∞ x [ k ] h [ n − k ]

连续时间线性时不变系统：卷积积分(Continuous-Time LTI System: The Convolution Integral)

用冲激表示的连续时间信号

δ(t)=limΔ→0δΔ(t) δ ( t ) = lim Δ → 0 δ Δ ( t )

x^(t)=∑k=−∞+∞x(kΔ)δΔ(t−kΔ)⋅Δ x ^ ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ x ( k Δ ) δ Δ ( t − k Δ ) ⋅ Δ

x(t)=limΔ→0x^(t) x ( t ) = lim Δ → 0 x ^ ( t )

x(t)=∫+∞−∞x(τ)δ(t−τ)dτ    (∗) x ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( τ ) δ ( t − τ ) d τ         ( ∗ )

（∗） （ ∗ ） 即为连续时间信号的冲激表现形式

下面通过上面的冲激表现形式来得出连续时间信号通过LTI系统的响应

连续时间线性时不变系统的单位冲激响应和卷积积分表示

δΔ(t)→hΔ(t) δ Δ ( t ) → h Δ ( t )

δΔ(t−kΔ)→hΔ(t−kΔ)(time invariance) δ Δ ( t − k Δ ) → h Δ ( t − k Δ ) ( t i m e   i n v a r i a n c e )

x(kΔ)δΔ(t−kΔ)→x(kΔ)hΔ(t−kΔ)(homogeneous) x ( k Δ ) δ Δ ( t − k Δ ) → x ( k Δ ) h Δ ( t − k Δ ) ( h o m o g e n e o u s )

∑k=−∞+∞x(kΔ)δΔ(t−kΔ)⋅Δ→∑k=−∞+∞x(kΔ)hΔ(t−kΔ)⋅Δ(additivity) ∑ k = − ∞ + ∞ x ( k Δ ) δ Δ ( t − k Δ ) ⋅ Δ → ∑ k = − ∞ + ∞ x ( k Δ ) h Δ ( t − k Δ ) ⋅ Δ ( a d d i t i v i t y )

y(t)=∫+∞−∞x(τ)h(t−τ)dτ=x(t)⋆h(t) y ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( τ ) h ( t − τ ) d τ = x ( t ) ⋆ h ( t )

同理，反映的是所有时刻作用于系统的冲激在 t t 时刻产生响应的加权积分，加权因子由输入信号x(τ) x ( τ ) 控制

所以，若一个LTI系统有 δ(t)→h(t) δ ( t ) → h ( t ) ，故对于一个 x(t) x ( t ) 的输入，输出 y(t)=x(t)⋆h(t) y ( t ) = x ( t ) ⋆ h ( t ) ，我们称它为卷积积分（The Convolution Integral）

卷积的计算

（以后也可以通过傅里叶变换，拉普拉斯变换求卷积积分）

1. 利用定义：

eg：

x(t)=e−at⋅u(t),a>0,h(t)=u(t) x ( t ) = e − a t ⋅ u ( t ) , a > 0 , h ( t ) = u ( t ) ，试求 h(t)⋆x(t) h ( t ) ⋆ x ( t )

h(t)⋆x(t)=∫+∞−∞e−aτ⋅u(τ)⋅u(t−tau)dτ={∫t0e−aτdτ0t≥0t<0 h ( t ) ⋆ x ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ e − a τ ⋅ u ( τ ) ⋅ u ( t − t a u ) d τ = { ∫ 0 t e − a τ d τ t ≥ 0 0 t < 0

即： h(t)⋆x(t)=1a(1−e−at)u(t) h ( t ) ⋆ x ( t ) = 1 a ( 1 − e − a t ) u ( t )

1. 图解法：

卷积的性质

1. The Commutative Property 交换律

x(t)⋆h(t)=h(t)⋆x(t) x ( t ) ⋆ h ( t ) = h ( t ) ⋆ x ( t )

x[n]⋆h[n]=h[n]⋆x[n] x [ n ] ⋆ h [ n ] = h [ n ] ⋆ x [ n ]

1. The distributive Property 分配率

x(t)⋆{h1(t)+h2(t)}=x(t)⋆h1(t)+x(t)⋆h2(t) x ( t ) ⋆ { h 1 ( t ) + h 2 ( t ) } = x ( t ) ⋆ h 1 ( t ) + x ( t ) ⋆ h 2 ( t )

x[n]⋆{h1[n]+h2[n]}=x[n]⋆h1[n]+x[n]⋆h2[n] x [ n ] ⋆ { h 1 [ n ] + h 2 [ n ] } = x [ n ] ⋆ h 1 [ n ] + x [ n ] ⋆ h 2 [ n ]

1. The Associative Property 结合律

x(t)⋆{h1(t)⋆h2(t)}={x(t)⋆h1(t)}⋆h2(t) x ( t ) ⋆ { h 1 ( t ) ⋆ h 2 ( t ) } = { x ( t ) ⋆ h 1 ( t ) } ⋆ h 2 ( t )

x[n]⋆{h1[n]⋆h2[n]}={x[n]⋆h1[n]}⋆h2[n] x [ n ] ⋆ { h 1 [ n ] ⋆ h 2 [ n ] } = { x [ n ] ⋆ h 1 [ n ] } ⋆ h 2 [ n ]

这里的（a）（b）（c）（d）是等价的

1. 含有冲激的卷积（ △ △ ）

   1. x(t)⋆δ(t)=x(t) x ( t ) ⋆ δ ( t ) = x ( t )

      x[n]⋆δ[n]=x[n] x [ n ] ⋆ δ [ n ] = x [ n ]

      x(t)⋆δ(t−t0)=x(t−t0) x ( t ) ⋆ δ ( t − t 0 ) = x ( t − t 0 )

      x[n]⋆δ[n−n0]=x[n−n0] x [ n ] ⋆ δ [ n − n 0 ] = x [ n − n 0 ]

   2. 若 y(t)=x(t)⋆h(t) y ( t ) = x ( t ) ⋆ h ( t ) ，则 x(t−t1)⋆h(t−t2)=y(t−t1−t2) x ( t − t 1 ) ⋆ h ( t − t 2 ) = y ( t − t 1 − t 2 )

   由此可见，将某些信号变成冲激的形式，可以极大的化简卷积的计算过程，通过微分使如方波，线性函数变成冲激形式

2. 卷积的微分、积分性质

   1. 微分： y(t)=x(t)⋆h′(t)=x′(t)⋆h(t) y ( t ) = x ( t ) ⋆ h ′ ( t ) = x ′ ( t ) ⋆ h ( t )

   2. 积分： y(−1)(t)=x(t)⋆h(−1)(t)=x(−1)(t)⋆h(t) y ( − 1 ) ( t ) = x ( t ) ⋆ h ( − 1 ) ( t ) = x ( − 1 ) ( t ) ⋆ h ( t )

   3. 推广： yn(t)=x(t)⋆hn(t)=xn(t)⋆h(t) y n ( t ) = x ( t ) ⋆ h n ( t ) = x n ( t ) ⋆ h ( t )

      ​ ym+n(t)=xm(t)⋆hn(t)=xm(t)⋆hn(t) y m + n ( t ) = x m ( t ) ⋆ h n ( t ) = x m ( t ) ⋆ h n ( t )

LTI 系统的性质

有记忆和无记忆(LTI System with and without Memory )

1. y[n]=x[n]⋆h[n]=∑+∞k=−∞x[k]h[n−k] y [ n ] = x [ n ] ⋆ h [ n ] = ∑ k = − ∞ + ∞ x [ k ] h [ n − k ]

   无记忆： h[n−k]=0,k≠n⇒h[n]=0,n≠0 h [ n − k ] = 0 , k ≠ n ⇒ h [ n ] = 0 , n ≠ 0

2. y(t)=x(t)⋆h(t)=∫+∞−∞x(τ)h(t−τ)dτ y ( t ) = x ( t ) ⋆ h ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( τ ) h ( t − τ ) d τ

   无记忆： h(t−τ)=0,τ≠t⇒h(t)=0,t≠0 h ( t − τ ) = 0 , τ ≠ t ⇒ h ( t ) = 0 , t ≠ 0

可逆性(Invertibility of LTI System )

因果性(Causality of LTI System)

1. 离散时间系统

y[n]=∑k=−∞+∞x[k]h[n−k]=∑k=−∞nx[k]h[n−k]+∑k=n+1+∞x[k]h[n−k] y [ n ] = ∑ k = − ∞ + ∞ x [ k ] h [ n − k ] = ∑ k = − ∞ n x [ k ] h [ n − k ] + ∑ k = n + 1 + ∞ x [ k ] h [ n − k ]

当 k>n k > n 时， h[n−k]=0⇒h[n]=0,n<0 h [ n − k ] = 0 ⇒ h [ n ] = 0 , n < 0

即如果时间信号 n<0 n < 0 时， h[n]=0 h [ n ] = 0 ，故为因果系统

对离散时间的因果系统来讲，它的单位脉冲响应必然是因果的

1. 同理，对连续时间系统有： h(t)=0,t<0 h ( t ) = 0 , t < 0

稳定性(Stability for LTI System)

1. 离散时间系统

|x[n]|<M⇒|y[n]|<B | x [ n ] | < M ⇒ | y [ n ] | < B

|y[n]|=|∑k=−∞+∞x[n−k]h[k]|≤∑k=−∞+∞|x[n−k]|⋅|h[k]|≤M⋅∑k=−∞+∞|h[k]|<B | y [ n ] | = | ∑ k = − ∞ + ∞ x [ n − k ] h [ k ] | ≤ ∑ k = − ∞ + ∞ | x [ n − k ] | ⋅ | h [ k ] | ≤ M ⋅ ∑ k = − ∞ + ∞ | h [ k ] | < B

即如果一个系统是有界的，那么用于描述这个系统的单位脉冲的响应的累计有界，即：

∑k=−∞+∞|h[k]|<∞ ∑ k = − ∞ + ∞ | h [ k ] | < ∞

1. 同理，对连续时间系统有： ∫+∞−∞|h(t)|<∞ ∫ − ∞ + ∞ | h ( t ) | < ∞

奇异函数(Singularity Function)

作为理想化短脉冲的单位冲激(The Unit Impulse as an Idealized Short Pulse)

δ(t)=limΔ→0δΔ(t) δ ( t ) = lim Δ → 0 δ Δ ( t )

δ(t)=limΔ→0rΔ(t) δ ( t ) = lim Δ → 0 r Δ ( t )

δ(t)=limΔ→0rΔ(t)⋆δΔ(t) δ ( t ) = lim Δ → 0 r Δ ( t ) ⋆ δ Δ ( t )

δ(t)=limΔ→0rΔ(t)⋆rΔ(t) δ ( t ) = lim Δ → 0 r Δ ( t ) ⋆ r Δ ( t )

这些都可以用来表示单位冲激信号，只要持续时间宽度足够短，在这个意义来讲完全等价

通过卷积定义单位冲激(Define the Unit Impulse through Convolution)

1. 若对于 ∀x(t) ∀ x ( t ) ，都有 x(t)⋆φ(t)=x(t) x ( t ) ⋆ φ ( t ) = x ( t ) ，则 φ(t)=δ(t) φ ( t ) = δ ( t ) ， δ(t) δ ( t ) 为单位冲激信号

2. 通过筛选性质定义：

   对于任意 x(t) x ( t ) ， x(t) x ( t ) 在 t=0 t = 0 时是连续的，若 ∫+∞−∞x(t)⋅φ(t)dt=x(t)⇒φ(t)=δ(t) ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) ⋅ φ ( t ) d t = x ( t ) ⇒ φ ( t ) = δ ( t ) ， δ(t) δ ( t ) 为单位冲激信号

单位冲激偶和其他奇异函数(Unit Doublets and Other Singularity Functions)

1. 单位冲激偶： u1(t)=dδ(t)dt u 1 ( t ) = d δ ( t ) d t ，可以看做是一个信号在同一时刻两个相反的两个冲激，面积为0；也可以看成一个微分器的单位冲激响应

   

2. k阶冲激偶： uk(t)=dkδ(t)dtk u k ( t ) = d k δ ( t ) d t k

3. ∫+∞−∞φ(t)u1(t)dt=−φ′(0) ∫ − ∞ + ∞ φ ( t ) u 1 ( t ) d t = − φ ′ ( 0 )

   ∫+∞−∞φ(t)uk(t)dt=(−1)kdkφ(t)dtk|t=0 ∫ − ∞ + ∞ φ ( t ) u k ( t ) d t = ( − 1 ) k d k φ ( t ) d t k | t = 0

4. 冲激偶的性质：

   • ∫+∞−∞u1(t)dt=0 ∫ − ∞ + ∞ u 1 ( t ) d t = 0
   • u1(−t)=−u1(t) u 1 ( − t ) = − u 1 ( t ) ，k为奇数，为奇函数；k为偶数，为偶函数
   • φ(t)u1(t)=φ(0)u1(t)−φ′(0)δ(t) φ ( t ) u 1 ( t ) = φ ( 0 ) u 1 ( t ) − φ ′ ( 0 ) δ ( t )

单位冲激积分(Derivatives of different orders of unit impulse)

u−k(t)=u−1(t)⋆u−1(t)⋅⋅⋅u−1(t) u − k ( t ) = u − 1 ( t ) ⋆ u − 1 ( t ) ⋅ ⋅ ⋅ u − 1 ( t )

u−2(t)=u−1(t)⋆u−1(t)=∫t−∞u(τ)dτ=tu(t) u − 2 ( t ) = u − 1 ( t ) ⋆ u − 1 ( t ) = ∫ − ∞ t u ( τ ) d τ = t u ( t ) ，被称为单位斜波函数（unit ramp functions）

用微分和差分方程描述的因果LTI系统(Causal LTI System described by Differential and different Equation)

线性常系数微分方程(Linear Constant-coefficient Differential Equation)

∑Nk=0akdky(t)dtk=∑Mk=0bkdkx(t)dtk ∑ k = 0 N a k d k y ( t ) d t k = ∑ k = 0 M b k d k x ( t ) d t k

y(t)=yx(t)+yf(t) y ( t ) = y x ( t ) + y f ( t )

yx(t) y x ( t ) 零输入响应， yf(t) y f ( t ) 零状态响应

线性常系数差分方程(Linear Constant-coefficient Difference Equation)

∑Nk=0aky[n−k]=∑Mk=0bkx[n−k] ∑ k = 0 N a k y [ n − k ] = ∑ k = 0 M b k x [ n − k ]

用方框图表示一阶系统

1. 对于离散时间系统：

eg： y[n]+ay[n−1]=b[n] y [ n ] + a y [ n − 1 ] = b [ n ]

1. 对于连续时间信号：

eg：对于 dy(t)dt=bx(t)−ay(t) d y ( t ) d t = b x ( t ) − a y ( t )

然而因为微分器实现困难，而且对于噪声和误差极为灵敏，因此我们常常将上式改写为： y(t)=∫t−∞[bx(t)−ay(t)]dt y ( t ) = ∫ − ∞ t [ b x ( t ) − a y ( t ) ] d t