线性时不变(LTI)系统的零状态响应等于输入信号与单位脉冲响应的卷积

以离散系统为例。在离散的线性时不变(LTI)系统中，输入为单位脉冲函数$\delta (k)$时产生单位脉冲响应$h(k)$，则有：

根据卷积和的定义，对于任意输入信号$f(k)$：
$$\begin{array}{rl}输入& =\sum _{i=-\infty }^{\infty }f(i)\delta (k-i)=f(k)\ast \delta (k)=f(k)\\ 响应& =\sum _{i=-\infty }^{\infty }f(i)h(k-i)=f(k)\ast h(k)\end{array}$$
即：