作者：Grey
原文地址：使用线段树解决数组任意区间元素修改问题
要解决的问题
数组任意区间内的元素修改，增加，求和，时间复杂度都要达到O(logN)水平, 方法说明如下:
L...R上都加V
void add(L, R, V, arr)
L...R上的值都更新成V
void update(L, R, V, arr)
L...R上求和并返回求和信息
int query(L, R, arr)
注：L和R表示数组编号，我们人为规定，编号从1开始，0位置弃而不用。
预处理
线段树要求数组长度必须是2^N次方，如果不满足，则通过补0的方式来变成2^N次方。
将数组划分成一个个的区间，区间大小分别为: 1，2，4，8.... 2^N。
例如：数组的长度为8，我们将数组下标从1开始编号到8，则每个下标构成的区间是一个满二叉树，如下图
1~8
/ \
1~4 5~8
/ \ / \
1~2 3~4 5~6 7~8
/ \ / \ / \ / \
1 2 3 4 5 6 7 8
如果不满足2的n次方，要变成满二叉树，需要通过补0的方式，比如数组只有6个元素，编号为1~6，那么7位置和8位置补0。
如果N满足2的某次方，则仅需要2N个区间就可以装下所有区间，如果不满足2的某次方，则仅需要4N个区间就可以装下。
线段树这里的下标都用1开始，0位置弃而不用 就是为了在任意位置（假设位置为i）有：
左孩子对应的下标是2*i ，即：i<<1
右孩子对应的下标是2*i+1，即：(i<<1)|1
所以，假设原始数组为origin, 长度为N，线段树需要将origin这个数组做如下预处理：
第一步，准备一个N+1长度的数组arr，arr的0位置弃而不用，其他位置依次存原始数组的值，即：arr[i] = origin[i-1]
第二步，准备四个数组，数组长度均为：4*(N+1)，每个数组的含义如下:
sum数组
用来模拟维护区间和
lazy数组
累加和懒惰标记
change数组
更新的值数组
update数组
存放更新慵懒标记
每个数组的用法后面会提到。
线段树初始化
线段树在初始化阶段，会把每个区间的和先计算出来，放入sum数组中，初始化代码如下
public void build(int l, int r, int rt) {
if (l == r) {
sum[rt] = arr[l];
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(l, mid, rt << 1);
build(mid + 1, r, rt << 1 | 1);
pushUp(rt);
}
比如：arr[1...8] 这个数组，经过build操作后，会得到以下区间的累加和：
[1...8],[1...4],[5...8],[1...2],[3...4],[5...6],[7...8],[1...1],[2...2],[3...3],[4...4],[5...5],[6...6],[7...7],[8...8]
并保存在sum数组中。
private void pushUp(int rt) {
sum[rt] = sum[rt << 1] + sum[rt << 1 | 1];
}
pushUp方法很容易理解，即：每个区间的和等于它左右两个区间的和相加得到。前面提到，对于rt位置来说，左右孩子分别为rt << 1和rt << 1 | 1。所以sum[rt] = sum[rt << 1] + sum[rt << 1 | 1]。
例如：
从上图中可以看出，当rt=5时，(rt << 1) = 10, (rt << 1 | 1) = 11，
sum[5] = sum[11] + sum[12]
即：编号5的区间的累加和等于编号10的累加和与编号11累加和再求和
其他位置同理。
build方法用了递归，且满足master公式的条件，可以得到其复杂度为O(logN)。
区间内每个数都加一个值
即线段树的add方法，源码如下
public void add(int L, int R, int C, int l, int r, int rt) {
// 任务如果把此时的范围全包了！
if (L <= l && r <= R) {
sum[rt] += C * (r - l + 1);
lazy[rt] += C;
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
pushDown(rt, mid - l + 1, r - mid);
if (L <= mid) {
add(L, R, C, l, mid, rt << 1);
}
if (R > mid) {
add(L, R, C, mid + 1, r, rt << 1 | 1);
}
pushUp(rt);
}
注：L...R为任务区间
即: 在L...R这个区间内的值，都加上一个C值。
如果任务的范围把此时数组某个划分区间l...r包住了，则这个l...r这个区间范围内的值都要加上C,
即代码中base case的第一个逻辑sum[rt] += C * (r - l + 1), 而lazy[rt] += C;表示加C这个任务hold在l...r区间内，不下发给子节点处理，这就是线段树的懒更新机制。
如果任务的范围无法把数组某个划分区间l...r包住，则l...r这个区间就要下发给左右子树进行处理。但是在下发之前，要进行pushDown操作，在pushDown操作中，add方法会触发到的逻辑是：
private void pushDown(int rt, int ln, int rn) {
if (update[rt]) {
update[rt << 1] = true;
update[rt << 1 | 1] = true;
change[rt << 1] = change[rt];
change[rt << 1 | 1] = change[rt];
lazy[rt << 1] = 0;
lazy[rt << 1 | 1] = 0;
sum[rt << 1] = change[rt] * ln;
sum[rt << 1 | 1] = change[rt] * rn;
update[rt] = false;
}
if (lazy[rt] != 0) {
lazy[rt << 1] += lazy[rt];
sum[rt << 1] += lazy[rt] * ln;
lazy[rt << 1 | 1] += lazy[rt];
sum[rt << 1 | 1] += lazy[rt] * rn;
lazy[rt] = 0;
}
}
由于目前没有涉及update操作，所以现在只看pushDown方法的如下分支
if (lazy[rt] != 0) {
lazy[rt << 1] += lazy[rt];
sum[rt << 1] += lazy[rt] * ln;
lazy[rt << 1 | 1] += lazy[rt];
sum[rt << 1 | 1] += lazy[rt] * rn;
lazy[rt] = 0;
}
这个操作表示，在l...r把任务下发到左右子树之前，先把l...r之前hold住的更新,即lazy[rt]中存的值，同步下发到左右子树进行更新，其中就包括两步：
第一步，左右子树都要加上之前父节点的lazy值，因为当时父节点在更新lazy的时候，是没有下发到左右子树的(懒更新)，此时要下发了，就必须把之前所有的lazy信息更新到左右子树，对应就是代码中的如下两行
lazy[rt << 1] += lazy[rt];
lazy[rt << 1 | 1] += lazy[rt];
第二步，左右子树的sum值，也会随着父节点的lazy值更新过来而整体更新，对应代码中如下两行
sum[rt << 1 | 1] += lazy[rt] * rn;
sum[rt << 1] += lazy[rt] * ln;
pushDown的这两个步骤时间复杂度O(logN)。
此时，执行完pushDown操作后，就可以下发任务了，核心代码如下
if (L <= mid) {
add(L, R, C, l, mid, rt << 1);
}
if (R > mid) {
add(L, R, C, mid + 1, r, rt << 1 | 1);
}
pushUp(rt);
使用的类似二分的方式，主要判断依据是任务区间到底在左右子树的哪个子树范围内。最后，执行pushUp方法，即把累加信息传递给父节点。
综上，线段树的add逻辑说明完毕。
区间内的值都更新为某个值
即线段树的update方法，update方法需要change数组和update数组配合。
public void update(int L, int R, int C, int l, int r, int rt) {
if (L <= l && r <= R) {
update[rt] = true;
change[rt] = C;
sum[rt] = C * (r - l + 1);
lazy[rt] = 0;
return;
}
// 当前任务躲不掉，无法懒更新，要往下发
int mid = (l + r) >> 1;
pushDown(rt, mid - l + 1, r - mid);
if (L <= mid) {
update(L, R, C, l, mid, rt << 1);
}
if (R > mid) {
update(L, R, C, mid + 1, r, rt << 1 | 1);
}
pushUp(rt);
}
base case的逻辑和add方法类似，如果任务范围包住了区间范围，则在区间内直接做更新,update[rt] = true用于标识这个区间做了更新；change[rt] = C;用于记录这个区间的值更新成了什么；如果一个节点收到一个update方法，假设更新为C, 这个C存在change数组中，而且这个区间的所有lazy信息失效，这个区间的sum值直接变成数据个数 * C，所以有如下逻辑。
sum[rt] = C * (r - l + 1);
lazy[rt] = 0;
如果任务包不住区间范围，和add类似，也需要下发，下发过程可以查看pushDown逻辑的如下分支：
if (update[rt]) {
update[rt << 1] = true;
update[rt << 1 | 1] = true;
change[rt << 1] = change[rt];
change[rt << 1 | 1] = change[rt];
lazy[rt << 1] = 0;
lazy[rt << 1 | 1] = 0;
sum[rt << 1] = change[rt] * ln;
sum[rt << 1 | 1] = change[rt] * rn;
update[rt] = false;
}
下发过程中，左右子树的更新标志位都需要设置为true, 且左右子树区间需要更新的值均为父区间需要更新的值，即
update[rt << 1] = true;
update[rt << 1 | 1] = true;
change[rt << 1] = change[rt];
change[rt << 1 | 1] = change[rt];
由于区间需要更新，所以lazy失效，sum可以直接计算出来（数组区间元素个数*更新值）
任务下发后，和add方法一样，判断更新的区间在哪个子树范围，递归调用update执行更新操作即可，最后更新完毕后，需要把更新后的左右子树之和信息传给父节点的sum信息中。
综上，线段树的update方法说明完毕。
返回区间之和
和add以及update方法类似，
public long query(int L, int R, int l, int r, int rt) {
if (L <= l && r <= R) {
return sum[rt];
}
int mid = (l + r) >> 1;
pushDown(rt, mid - l + 1, r - mid);
long ans = 0;
if (L <= mid) {
ans += query(L, R, l, mid, rt << 1);
}
if (R > mid) {
ans += query(L, R, mid + 1, r, rt << 1 | 1);
}
return ans;
}
求和之前，如果任务范围没包住区间范围，要执行一次pushDown操作，才能把各个相关区间的信息最后整合出来。
线段树的适用场景
父节点如果可以通过左右简单加工得到，就可以用线段树
什么时候不能用线段树呢？
比如：
要求数组某个区间出现次数最多的值
这个就无法用线段树，因为出现次数最多的值可以既不是左边出现最多的值，也不是右边出现最多的值
线段树源码
Code_0007_SegmentTree.java
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算法和数据结构笔记
参考资料
程序员代码面试指南（第2版）
算法和数据结构体系班-左程云