set、map及AVL树

关联式容器

序列式容器如vector、list、deque、forward_list（C++11）等，其底层为线性序列的数据结构，里面存储的是元素本身。

关联式容器：里面存储的是结构的键值对，再数据检索时比序列式容器效率更高。

树型结构的关联式容器

根据应用场景的不同，STL总共实现了两种不同结构的管理式容器：树型结构与哈希结构。树型结构的关联式容器主要有四种：map、set、multimap、multiset。这四种容器的共同点是：使用平衡搜索树（红黑树）作为其底层，容器中的元素是一个有序的序列。

键值对

用来表示具有一一对应关系的一种结构，该结构中一般只包含两个成员变量key和value，key代表键值，value表示与key对应的信息。

SGI-STL中关于键值对的含义：

template<class T1, class T2>
struct pair
{
	typedef T1 first_type;
	typedef T2 second_type;

	T1 first;
	T2 second;

	pair()
		: first(T1())
		, second(T2())
	{}

	pair(const T1& a, const T2& b)
		: first(a)
		, second(b)
	{}
};

set

set文档介绍

1. set是按照一定次序存储元素的容器。
2. zaiset中，元素的value也标识它（value就是key，类型为T），并且每个value必须是唯一的。set中的元素不能在容器中修改（元素总是const），但可以从容器中插入或删除它们。
3. 在内部，set中的元素总是按照其内部比较对象（类型比较）所指示的特定严格弱排序准则进行排序。
4. set容器通过key访问单个元素的速度通常比unordered_set容器慢，但它们允许根据顺序对子集进行直接迭代。
5. set在底层使用二叉搜索树（红黑树）实现的。

注意：

1. 与map/multimap不同，map/multimap中存储的是真正的键值对，set中只放value，但在底层实际存放的是由构成的键值对。
2. set中插入元素时，只需要插入value即可，不需要构造键值对。
3. set中的元素不可以重复(因此可以使用set进行去重)。
4. 使用set的迭代器遍历set中的元素，可以得到有序序列
5. set中的元素默认按照小于来比较
6. set中查找某个元素，时间复杂度为：logn（以二为底）
7. set中的元素不允许修改

map

map文档介绍

1. map是关联容器，它按照特定的次序（按照key来比较）存储由键值key和值value组合而成的元素。
2. 在map中，键值key通常用于排序和唯一地标识元素，而值value中存储与键值key关联的内容。键值key和值value的类型可能不同，并且在map的内部，key与value通过成员类型value_type绑定在一起，为其取别名为pair：typedef pair value_type；
3. 在内部，map中的元素总是按照键值key进行比较排序的。
4. map中通过键值访问单个元素的速度通常比unordered_mao容器慢，但map允许根据顺序对元素进行直接迭代（即对map中的元素进行迭代时，可以得到一个有序的序列）
5. map支持下标访问符，即在[]中放入key，就可以找到与key对应的value。
6. map通常被实现为平衡二叉搜索树

insert

pair<iterator, bool> insert(const value_type& x)
在map中插入键值对x，返回值也是键值对：iterator代表新插入元素的位置，bool代表释放插入成功

operator[]

mapped_type& operator[] (const key_type& k)
返回key对应的value

mapped_type& operator[] (const key_type& k)
{
	pair<iterator, bool> ret = insert(make_pair(k, mapped_type()));
	return ret.first->second;

// return (*((this->insert(make_pair(k, mapped_type()))).first)).second;
}

operator[]原理：

1. k已经存在，则insert插入失败。insert返回的pair会带出k在map中存储节点的迭代器，通过这个迭代器，我们可以拿到k对应的value值，进行返回。
2. k不存在，则insert插入成功，插入的是pair，insert返回值会带出刚插入的k所在节点迭代器，通过这个迭代器，我们可以拿到k对应的value值，进行返回。

1.k不存在，插入默认构造函数生成缺省值的value的pair
2.k存在，返回k对应的value值

注意：在元素访问时，有一个与operator[]类似的操作at()（不常用）函数，都是通过key找到与key对应的value然后返回其引用，不同的是：当key不存在时，operator[]用默认value与key构造键值对然后插入，返回该默认value，at()函数直接抛异常。

multiset

multiset文档介绍

1. multiset是按照特定顺序存储元素的容器，其中元素是可以重复的。
2. 在multiset中，元素的value也会识别它(因为multiset中本身存储的就是组成的键值对，因此value本身就是key，key就是value，类型为T). multiset元素的值不能在容器中进行修改(因为元素总是const的)，但可以从容器中插入或删除。
3. 在内部，multiset中的元素总是按照其内部比较规则(类型比较)所指示的特定严格弱排序准则进行排序。
4. multiset容器通过key访问单个元素的速度通常比unordered_multiset容器慢，但当使用迭代器遍历时会得到一个有序序列。
5. multiset底层结构为二叉搜索树(红黑树)。

注意：

• multiset中再底层中存储的是的键值对
• 与set的区别是，multiset中的元素可以重复，set是中value是唯一的。所以 mtltiset的插入接口中只需要插入即可。
• 使用迭代器对multiset中的元素进行遍历，可以得到有序的序列
• multiset中的元素不能修改
• 在multiset中找某个元素，时间复杂度为O(logN)
• multiset的作用：可以对元素进行排序

multimap

multimap文档介绍

1. Multimaps是关联式容器，它按照特定的顺序，存储由key和value映射成的键值对，其中多个键值对之间的key是可以重复的。
2. 在multimap中，通常按照key排序和惟一地标识元素，而映射的value存储与key关联的内容。key和value的类型可能不同，通过multimap内部的成员类型value_type组合在一起，value_type是组合key和value的键值对:typedef pair value_type;
3. 在内部，multimap中的元素总是通过其内部比较对象，按照指定的特定严格弱排序标准对key进行排序的。
4. multimap通过key访问单个元素的速度通常比unordered_multimap容器慢，但是使用迭代器直接遍历multimap中的元素可以得到关于key有序的序列。
5. multimap在底层用二叉搜索树(红黑树)来实现。

注意：multimap和map的唯一不同就是：map中的key是唯一的，而multimap中key是可以重复的。

multimap中的接口可以参考map，功能都是类似的。
注意：

1. multimap中的key是可以重复的。
2. multimap中的元素默认将key按照小于来比较
3. multimap中没有重载operator[]操作
4. 使用时与map包含的头文件相同

前K个高频单词

给定一个单词列表 words 和一个整数 k ，返回前 k 个出现次数最多的单词。

返回的答案应该按单词出现频率由高到低排序。如果不同的单词有相同出现频率， 按字典顺序 排序。

题目链接

输入: words = [“i”, “love”, “leetcode”, “i”, “love”, “coding”], k = 2
输出: [“i”, “love”]
解析: “i” 和 “love” 为出现次数最多的两个单词，均为2次。
注意，按字母顺序 “i” 在 “love” 之前。

class Solution {
public:
    vector<string> topKFrequent(vector<string>& words, int k) {
        //统计次数，string就按字典序排了
        map<string, int> countMap;
        for(auto& c : words)
        {
            countMap[c]++;
        }

        //按次数排，相同次数的单词顺序不会乱，相当于是稳定的
        multimap<int, string, greater<int>> sortMap;
        for(auto& kv : countMap)
        {
            sortMap.insert(make_pair(kv.second, kv.first));
        }

        vector<string> ret;
        for(auto& kv : sortMap)
        {
            ret.push_back(kv.second);
            if(--k == 0)
            {
                break;
            }
        }

        return ret;
    }
};

前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

AVL树

概念

二叉搜索树虽然可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新节点后，如果能保证每个节点的左右子树高度之差的绝对值不超过1（需要对树中的节点进行调整），即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

节点的定义

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	pair<K, V> _kv;

	int _bf; //balance factor = 右子树高度-左子树高度

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		: _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _bf(0)
	{}
};

插入

插入一个节点后，需要具体分析：
1、插入更新的节点在父亲的左边，父亲平衡因子–
2、插入更新的节点在父亲的右边，父亲平衡因子++
3、父亲的平衡因子更新后，如果是1或-1，说明父亲所在子树高度改变了，需要继续往上更新。
4、父亲的平衡因子更新以后，如果是0，说明父亲所在子树的高度没变，则不需要继续往上更新。
5、更新以后，父亲的平衡因子是2或-2，说明父亲所在的子树已经不平衡了，需要旋转处理。
6、更新到了根节点就不需要再更新。

旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种。

右单旋

新节点插入较高子树的左侧

a、b、c是高度为h的AVL子树，他们有无数种情况，只要在a中插入节点，a的高度变为h+1，就会引发右单旋。
h可以是>=0的任意整数

具体操作：

1. b子树变成60的左子树。
2. 60称为30的右子树，30称为这棵树的根。

	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < cur->_kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}

		//控制树的平衡
		while (parent)
		{
			//0.更新平衡因子
			if (cur == parent->_left)
				parent->_bf--;
			else
				parent->_bf++;

			//检查父亲的平衡因子


			//1.父亲所在子树的高度不变，不影响祖先，更新结束
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				//2.父亲所在子树的高度变了，继续往上更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//3.父亲所在子树出现了不平衡，需要旋转处理
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					//右单旋
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					//左单旋
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					//双旋
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);
				}

				break;
			}
			else 
			{
				assert(false);
			}
		}

		return true;
	}

左单旋

新节点插入较高右子树的右侧

c这棵子树的高度变为h+1，就会引发左单旋

1. b变成30的右子树
2. 30所在子树变成60的左子树。60更新为这棵树的根。

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		
		parent->_right = subRL;
		if(subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* ppNode = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}

			subR->_parent = ppNode;
		}

		subR->_bf = parent->_bf = 0;
	}

左右双旋

新节点插入较高左子树的右侧

1. 先以30为旋转点，进行做单旋
2. 再以90为旋转点，进行右单旋

双旋后的结果：

1. b变成30的右边
2. c变成90的左边
3. 30和90分别变成60的左边和右边，60称为新的根

情况一：b插入，b的高度变成h，b最终是30的右边，那么30的bf就是0.
c最终是90的左边，那么90的bf就是1。

情况二：c插入，c的高度变成h，c最终是90的左边，那么90的bf就是0.
b最终是30的右边，那么30的bf就是-1。

情况三：60自己就是新增。

		void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		//平衡因子更新
		if (bf == -1)
		{
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if(bf == 0)
		{
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

右左双旋

新节点插入较高右子树的左侧
与左右双旋类似

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 1)
		{
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分为两步：

1. 验证其为二叉搜索树。如果中序遍历可以得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树。
2. 验证其为平衡树。每个节点子树高度差的绝对值不超过1；节点的平衡因子是否计算正确。

	int Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);
		
		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}

	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;

		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);
		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout << "平衡因子异常" << root->_kv.first << endl;
		}

		return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
			&& _IsBalance(root->_left)
			&& _IsBalance(root->_right);
	}

	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_root);
	}

void Test()
{
	//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };

	AVLTree<int, int> t1;
	for (auto e : a)
	{
		t1.Insert(make_pair(e, e));
	}
	cout << t1.IsBalance() << endl;
}