数字图像处理-形态学-小波变换-复习总结

数字图像处理

数学形态学图像处理（掌握）

基础背景

数学形态学是一种基于形状的图像处理理论和方法，数学形态学图像处理的基本思想是选择具有一定尺寸和形状的结构元素度量，并提取图像中相关形状结构的图像分量，以达到对图像分析和识别的目的。

集合运算

二值图像形态学基本运算

逻辑运算

二值图像形态学将二值图像看成是目标像素的集合，并集、交集、差集和补集等集合运算可以直接应用于二值图像，对应于二值图像所用的主要逻辑运算是与、或、非。

结构元素

在二值图像形态学中，结构元素是一个由 0 值和 1 值组成的矩阵。

每一个结构元素有一个原点，结构元素中的原点指定待处理像素的位置

结构元素中的1值定义了结构元素的邻域，输出图像中对应原点的值建立在输入图像中相应像素及其邻域像素比较的基础上。

结构元素可以是任意尺寸、任意形状

膨胀运算

设 A 表示二值图像，B 表示结构元素，使用结构元素 B 对二值图像 A 进行操作。
膨胀是在图像中目标边界周围增添像素，结构元素 B 对集合 A 的膨胀，记作

示例

膨胀是在图像中目标边界周围增添像素

腐蚀运算

腐蚀是移除图像中目标边界的像素，结构元素 B 对集合 A 的腐蚀，记作

结构元素对集合腐蚀的过程为，将结构元素 B 平移 z 后仍包含在集合 A 中。换句话说，结构元素 B 对集合 A 腐蚀生成的集合是 B 的平移集合完全包含在集合 A 中时，B 的原点位置的集合。

示例

腐蚀是移除图像中目标边界的像素，去除不能完全包含结构元素的像素点

腐蚀与膨胀的对偶性

对图像中目标区域的膨胀（腐蚀）运算相当于对图像中背景区域的腐蚀（膨胀）运算

开运算

开运算为先腐蚀后膨胀的运算，结构元素 B 对集合 A 的开运算，记作

闭运算

闭运算为先膨胀后腐蚀的运算，结构元素 B 对集合 A 的闭运算，记作

• 开运算能消除小尺寸的目标和细小的突出部分，断开细小的桥接部分而分离目标区域、并在不明显改变目标区域面积的条件下平滑较大目标边界的作用。
• 闭运算能填补目标区域内部小尺寸的孔洞和细窄的缺口、桥接狭窄的断裂部分而使目标区域连通、并在不明显改变目标区域面积的条件下平滑较大目标边界的作用。

开运算与闭运算也具有对偶性，可表示为如下的等式：

二值图像形态学实用算法

操作二值图像，0 表示黑色，1 表示白色

形态学

• 输入输出：输入原始图像 X，形态学输出图像 Y

• Y(i, j) 的计算

  • 对于X，取以 (i, j) 为中心的结构元素B
  • 根据结构元素 B 与 X 包含目标的集合运算，来计算 Y(i.j)
    操作对象

• 原始图像 X，形态学输出图像 Y

  • 黑白二值图像：白与黑，对应像素值 1 与 0

• 结构元素 B，X 包含的目标

  • 黑白二值图像的一部分
  • 黑白二值图像的白色部分，对应像素值 1

膨胀

输入输出：

• 原始图像X，膨胀图像Y

Y(i,j) 的计算：

• 对于X，取以 (i, j) 为中心的结构元素B
• 根据 B 与 X 包含目标的集合运算，来计算 Y(i, j)
  • Y(i, j) = 1, 若 B 与 X 的目标有交集
  • Y(i, j) = 0, 若 B 与 X 的目标无交集

WeightWin = Win.* B
sumW = sum(WeightWin(:))
if sumW>0
       Y(i,j) = 1
else
       Y(i,j) = 0
end

腐蚀

输入输出：

• 原始图像 X，腐蚀图像 Y

Y(i, j) 的计算：

• 对于 X，取以 (i, j) 为中心的结构元素 B
• 根据 B 与 X 包含目标的集合运算，来计算 Y(i, j)
  • Y(i, j) = 1, 若 B 完全包含在 X 的目标内
  • Y(i, j) = 0, 若 B 不完全包含在 X 的目标内

sumB = sum(B(:))
WeightWin = Win.* B
sumW = sum(WeightWin(:))
if sumW==sumB
       Y(i,j) = 1
else
       Y(i,j) = 0
end

边界提取

结构元素 B 对集合 A 腐蚀的作用是收缩目标区域，集合 A 与腐蚀集合的差集也就是腐蚀运算移除的目标边界元素构成 A 的边界集合，边界 β(A) 提取的过程可表示为

原图像减去腐蚀处理过的原图像达到边界提取的效果

灰度形态学

二值形态学

• 原始图像为二值图像

• 结构元素的每个像素为白色(像素值1)

灰度形态学

• 原始图像为灰度图像
• 结构元素的每个像素非0

灰度形态学膨胀

输入输出：

• 原始图像 X，结构元素 B
• 膨胀图像 Y

Y(i, j) 的计算

• 对于 X，取以 (i, j) 为中心被 B 占据的窗口 $W_{ij}$
• 计算T = $W_{ij}$+B-1
• Y(i, j) = max(T)

灰度形态学腐蚀

输入输出：

• 原始图像 X，结构元素 B
• 腐蚀图像 Y

Y(i, j) 的计算

• 对于X，取以 (i, j) 为中心被B占据的窗口 $W_{ij}$
• 计算T = $W_{ij}$-B+1
• Y(i, j) = min(T)

二维小波变换及其应用

二维离散小波变换的背景

• 含噪图像噪声明显, 去噪图像中噪声被显著抑制

• 去噪过程, “黑匣子”处理含噪图像, 获得“黑匣子”图像

• “黑匣子”是去噪的核心部分, “黑匣子”图像经后续处理得去噪图像

• 此“黑匣子”即小波变换

• 小波变换全称为离散小波变换

• 小波变换能集中信号能量、去信号相关性

• 针对图像的小波变换为二维小波变换，二维小波变换对应的英文名为2D-DWT，2D Discrete Wavelet Transform

二维离散小波变换的效果

• 经过一级DWT变换(正变换)，原始图像被分解为四个子图：低频A1，以及三个高频H1,V1,D1. 四子图的大小为原始图像的1/4
• 由DWT子图可还原出原始图像, 此过程称为逆变换
• 前述图像去噪, 黑匣子为正变换, 后续处理包括逆变换和其它操作

• 二级DWT通过分解一级DWT的低频子图A1实现
• 三级DWT通过分解二级DWT的低频子图A2实现
• 更高级DWT的分解类似完成

二维离散小波变换的原理

先处理原始图像的每一行

• 每一行为1D信号(矢量)，变换后得到两个部分，长度均为1D信号的1/2
• 逐行变换后，得行变换子图

后处理行变换子图的每一列

• 每一列为1D信号(矢量)，变换后得到两个部分，长度均为1D信号的1/2
• 逐列变换后，得列变换子图，亦即DWT子图

一维离散小波变换的效果（掌握）

• 经过一级1D-DWT变换(正变换)，原始信号被分解为两个子信号：低频A1，以及高频D1. 两个子信号的长度为原始信号的1/2
• 低频A1与原始信号的形状相似，捕捉到原始信号的轮廓
• 高频D1的大数值对应原始信号的细节(突变点、特征)
• 由1D-DWT子信号可还原出原始信号, 此过程称为逆变换
• 多级1D-DWT可通过反复处理低频Ai得到

• 低频A1与原始信号的形状相似，捕捉到原始信号的轮廓
• 高频D1的大数值对应原始信号的细节(突变点、特征)

一维离散小波变换的原理（掌握）

• X为原始信号, A1与D1为低、高频信号, Y为重构信号; 四者为矢量
• H0与H1为分解的低通与高通滤波器，G0与G1为重构滤波器；四者为短矢量
• ↓2为下采样， 故A1与D1的长度为X的一半；↑2为上采样
• 计算
  • A1(k) = X(2k-1)*H0(1) + X(2k)H0(2) + … + X(2k+L-2)*H0(L)
  • D1(k) = X(2k-1)*H1(1) + X(2k)H1(2) + … + X(2k+L-2)*H1(L)

• 低频A1与原始信号的形状相似，捕捉到原始信号的轮廓
  • 滤波器H0的元素和 = sqrt(2)， 即为常数
• 高频D1的大数值对应原始信号的细节(突变点、特征)
  • 滤波器H1的元素和 = 0

获取滤波器
[H0,H1,G0,G1] = wfilters('db2');
常用滤波器
H0 = [0.7071    0.7071];			% db1
H1 = [-0.7071    0.7071];
H0 =[-0.1294    0.2241    0.8365    0.4830]; 	% db2
H1 =[-0.4830    0.8365   -0.2241   -0.1294];
……

• 通过卷积迭代，由滤波器可生成小波函数
• 滤波器的应用性能决定于相应小波函数的性质

Matlab自带函数 - 2D DWT
分解：dwt2
重构：idwt2