面试算法高频压轴题——灯泡开关问题

题意

一个圆环上有100个灯泡，灯泡有亮和暗两种状态。灯泡的状态随机，按一个灯泡的开关，相邻两个灯泡的状态会发生一次改变。比如暗~亮~暗，按中间的灯泡，变化为亮~暗~亮。请设计一道算法，使得所有灯泡最后全部变为亮色。

思路分析

第一步：把所有灯泡变为全亮或者只剩一个是暗的

给所有灯泡编号为1~100，对于1~98号的灯泡，遇到暗的，就按下它的相邻灯泡的开关，保证它是亮的（也就是在牺牲紧接着的后一个灯泡的亮度的可能下，保证当前灯泡是亮的），这样一直遍历下去，就能保证1~98号灯泡是亮的。我们已经保证1~98号灯泡是亮的，最后两个灯泡可能是：

• 亮-亮：皆大欢喜
• 亮-暗、暗-亮：只剩一个为暗的情况
• 暗-暗：按下第100号灯泡的开关，使99号和100号变亮，1号变为暗，也变成只剩一个为暗

第二步：将所有灯泡全部变暗 

我们现在对经由第一步处理后剩下一个暗色灯泡的情况做处理。由于灯泡按环形摆放，我们指定唯一的暗灯泡为1号，其他剩余的99个亮灯泡，规定每3个位一组 ，按下每组亮灯泡的中间一个，使得每组3个灯泡全部变暗，从而使全部灯泡变暗。

第三步：将所有灯泡全部变亮

将所有灯泡按1~n的次序按一遍，就全变亮了

下面以n为7为例，模拟了一下这个过程（赶时间，画的比较粗糙）：

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扩展

对于N个灯泡的任意初始状态（N>3），能否经过若干次操作使得灯泡全部变亮——对N分类讨论

• 【N = 3*k + 1】，一定可以。方法与上述步骤相同。
• 【N = 3*k + 2】，一定可以。将上述步骤一的目标状态的只剩一个为暗改为剩两个相邻为暗，其余3*k 个灯泡按照上述步骤二分组按即可，以达到全部变暗的目的，再按步骤三操作。
• 【N = 3*k】，不一定。若经过步骤一使得全部灯泡变亮则有解，否则无解（需证明）

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总结

对于这道题，有以下两个等价关系：

全暗 <=> 全亮。全暗和全亮两种状态可以相互转化，方法就是每个灯泡依次按一次，这样每个灯泡都被改变了3次状态，奇数次改变变为相反的状态。  

剩一个为暗 <=> 剩两个为暗。剩余一个为暗时，按下该灯泡左右任意一个，就变成了剩余两个相邻为暗的情况；剩余两个相邻为暗时，按下第二个暗，就变成了剩下一个为暗的情况。

借鉴_小co