使用二分法来解决的问题

作者：Grey

原文地址：使用二分法来解决的问题

在一个有序数组中，找某个数是否存在

OJ见：LeetCode 704. Binary Search

思路：

1. 先得到中点位置，中点可以把数组分为左右半边。
2. 如果中点位置的值等于目标值，直接返回中点位置。
3. 如果中点位置的值小于目标值，则去数组左边按同样的方式寻找。
4. 如果中点位置的值大于目标值，则取数组右边按同样的方式寻找。
5. 如果最后没有找到，则返回：-1。

代码

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        if(nums == null || nums.length < 1) {
            return -1;
        }
        int l = 0; 
        int r = nums.length - 1;
        while (l <= r) {
            int mid = l + ((r - l)>>1);
            if (target > nums[mid]) {
                l = mid + 1;
            } else if (target == nums[mid]) {
                return mid;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }
        return -1;
    }
}

在一个有序数组中，找大于等于某个数最左侧的位置

OJ见：牛客-查找某个位置

这个问题只需要在上例基础上进行简单改动即可，上例中，我们找到满足条件的位置就直接return了

if (target == nums[mid]) {
    return mid;
}

在本问题中，因为要找到最左侧的位置，所以，在遇到相等的时候，只需要先把位置记录下来，不用直接返回，然后继续去左侧找是否还有满足条件的位置。

同时，在遇到target < nums[mid]条件下，也需要记录下此时的mid位置，因为这也可能是满足条件的位置。

代码：

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n = in.nextInt();
        int k = in.nextInt();
        int[] arr = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            arr[i] = in.nextInt();
        }
        // 虽然不排序也可以通过，但是题目未说明一定是有序数组
        Arrays.sort(arr);
        System.out.println(getNearestLeft(arr, k));
        in.close();
    }

    public static int getNearestLeft(int[] nums, int target) {
        if (nums == null || nums.length < 1) {
            return -1;
        }
        int l = 0;
        int r = nums.length - 1;
        int ans = 0;
        while (l <= r) {
            int mid = l + ((r - l) >> 1);
            if (target < nums[mid]) {
                ans = mid;
                r = mid - 1;
            } else if (target > nums[mid]) {
                l = mid + 1;
            } else {
                ans = mid;
                r = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }
}

LeetCode上有很多类似的问题，都可以用如上方式解答，比如：

LeetCode 35. Search Insert Position

代码见：LeetCode_0035_SearchInsertPosition

LeetCode 34. Find First and Last Position of Element in Sorted Array

代码见：LeetCode_0034_FindFirstAndLastPositionOfElementInSortedArray

局部最大值问题

OJ见：LeetCode 162. Find Peak Element

思路

假设数组长度为N，首先判断0号位置的数和N-1位置的数是不是峰值位置。

0号位置只需要和1号位置比较，如果0号位置大，0号位置就是峰值位置。

N-1号位置只需要和N-2号位置比较，如果N-1号位置大，N-1号位置就是峰值位置。

如果0号位置和N-1在上轮比较中均是最小值，那么数组的样子必然是如下情况：

[0..1]区间内是增长, [N-2...N-1]区间内是下降

那么峰值位置必在[1...N-2]之间出现

此时可以通过二分来找峰值位置，先来到中点位置，假设为mid，如果:

arr[mid] > arr[mid+1] && arr[mid] > arr[mid-1]

则mid位置即峰值位置

否则，有如下两种情况：

情况一，趋势是：

则在[1...(mid-1)]区间内继续上述二分。

情况二，趋势是：

则在[(mid+1)...(N-2)]区间内继续上述二分。

完整代码

public class LeetCode_0162_FindPeakElement {
    public static int findPeakElement(int[] nums) {
        if (nums.length == 1) {
            return 0;
        }
        int l = 0;
        int r = nums.length - 1;
        if (nums[l] > nums[l + 1]) {
            return l;
        }
        if (nums[r] > nums[r - 1]) {
            return r;
        }
        l = l + 1;
        r = r - 1;
        while (l <= r) {
            int mid = l + ((r - l) >> 1);
            if (nums[mid] > nums[mid + 1] && nums[mid] > nums[mid - 1]) {
                return mid;
            }
            if (nums[mid] < nums[mid + 1]) {
                l = mid + 1;
            } else if (nums[mid] < nums[mid - 1]) {
                r = mid - 1;
            }
        }
        return -1;
    }
}

分割数组的最大值

给定一个非负整数数组 nums 和一个整数 m ，你需要将这个数组分成 m 个非空的连续子数组。设计一个算法使得这 m 个子数组各自和的最大值最小。

OJ见：LeetCode 410. Split Array Largest Sum

PS: 此题也可以用四边形不等式优化的动态规划来解，但是最优解是二分法

思路

我们先求整个数组的累加和，假设累加和为sum，我们可以得到一个结论，分割的m个非空连续子数组的和的范围一定在(0,sum]区间内。转换一下思路，如果某种划分下的子数组之和的最大值为max，则max首先肯定在(0,sum]区间内。思路转换为：

子数组的累加和最大值不能超过max的情况下，最少可分多少部分？

假设能分k个部分，

如果k <= m，说明这种划分是满足条件的，我们看max是否可以变的更小。

如果k > m，说明这种划分是不满足条件的，我们需要调大max的值。

这里可以通过二分的方式来定位max的值。即max先取(0,sum]的中点位置，得到的划分部分k如果k <= m，则max继续去左边取中点位置来得到新的划分k，

如果k > m，max继续从右边的中点位置来得到新的划分k。

完整代码

class Solution {
    public static int splitArray(int[] nums, int m) {
        int sum = 0;
        for (int num : nums) {
            sum += num;
        }
        int l = 0;
        int r = sum;
        int ans = 0;
        while (l <= r) {
            int mid = l + ((r - l) >> 1);
            int parts = getParts(nums, mid);
            if (parts > m) {
                // mid越大，parts才会越小
                l = mid + 1;
            } else {
                ans = mid;
                r = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }

    // 达到aim要分几部分
    public static int getParts(int[] nums, int aim) {
        for (int num : nums) {
            if (num > aim) {
                return Integer.MAX_VALUE;
            }
        }
        int part = 1;
        int all = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            if (all + nums[i] > aim) {
                part++;
                all = nums[i];
            } else {
                all += nums[i];
            }
        }
        return part;
    }
}

其中：int getParts(int[] nums, int aim)方法表示，在不超过aim的情况下，最少需要几个划分部分。方法的主要逻辑是：

遍历数组，如果发现某个元素的值超过了aim，直接返回系统最大，说明无法得到划分。如果没有超过aim，则继续加入下一个元素，直到超过aim，就定位出一个部分。依次类推，就可以得到最少有几个划分。

更多

算法和数据结构笔记

参考资料

算法和数据结构体系班-左程云