第二章 初等模型

第二章 初等模型

2.1 比例模型

• 比例模型：即变量之间的函数关系 $y=f(x)$ .例如 $y=kx,y=k{x}^2,y=k{e}^x$

  • 更一般，有线性模型 $y=kx+b$

    • 截距 $b=0⟺$ 表示比例关系

  • 数据变换：对坐标系上的曲线进行拉伸，使变换后的数据呈现线性关系。

  • 典型比例模型(公式)：

    • Hooke定律：$F=-kx$
    • Newton第二定律：$F=ma$
    • Ohm定律：$I=\frac{U}{R}$
    • Einstein质能方程：$E=c^{2}m$
    • Newton万有引力定律：$F=k\frac{m_1{m}_2}{r^2}$

• $例题一$ 骑车刹车距离：刹车距离（司机决定刹车到车完全停止这段时间内汽车行驶的距离）与车速之间是线性关系吗？

  • 模型背景：建立刹车距离与车速之间的数学模型，预测（作为车辆速率的函数）车辆的总的停止距离，提出检验（2秒准则）

  • 模型假设：

    1. 最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动
    2. 司机状况和制动系统灵活性一定
    3. 道路和气候等一定

  • 模型建立：设反应距离 $d_r$，制动距离 $d_b$

    • 反应距离模型 $d_r=t_{r}v$，制动距离模型 $d_b=c{v}^2$
    • $d=d_r+d_b=t_{r}v+c{v}^2$

  • 模型解释：

    
    • 发现需要刹车时间随速度上升而增加，则指定准则时需要分段。即速度在 $40km/h$ 内提前 $2\sim 3$ 秒制动；速度在 $40km/h\sim 100km/h$ 内提前 $5\sim 6$ 秒制动；速度在 $100km/h\sim 150km/h$ 内提前 $7\sim 8$ 秒制动
    • 原则上，模型只能在计算范围内用作预测。即当速度超过 $150km/h$ 我不知道所需制动时间是否会大幅增加等等。

• $例题二$ 双层玻璃的功效：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失

  • 模型背景：建立模型描述热量通过窗户的传导（流失）过程。给出定量分析结果。

    

  • 模型假设：

    1. 热量传播只有传导，没有对流
    2. $T_1,T_2$ 不变，热传导过程处于稳态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数
    3. 材料均匀，热传导系数为常数

  • 模型构成：对于厚度为 $d$ ，热传导系数为 $k$ 的介质，当两侧温差为 $\Delta T$​ 时，单位时间由高温向低温传导的热量为
    $$Q=k\frac{\Delta T}{d}热传导定律$$

  • 模型建立：

    • 双侧玻璃：设内层玻璃的外侧温度为 $T_a$，外层玻璃的内侧温度为 $T_b$，玻璃的热传导系数为 $k_1$，空气的热传导系数为 $k_2$，

      则单位时间单位面积热量传导 $Q_1$ 为
      $$\begin{gathered} Q_1=k_1\frac{T_1-T_a}{d}=k_2\frac{T_a-T_b}{l}=k_1\frac{T_b-T_2}{d} \\ 化简:Q_1=k_1\frac{T_1-T_2}{d(s+2)},s=h\cdot \frac{k_1}{k_2},h=\frac{l}{d} \end{gathered}$$
      

    • 单侧玻璃：单位时间单位面积热量传导 $Q_2$ 为
      $$Q_2=k_1\frac{T_1-T_2}{2d}$$

    • 于是两种窗户传导的热量比为
      $$\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{2}{s+2}$$

  • 模型解释：

    • 根据具体数据，玻璃传导率 $k_1=4\times 10^{-3}\sim 8\times 10^{-3}\mathrm{J}/(\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}\cdot \mathrm{K})$，干燥空气传导率 $k_2=2.5\times 10^{-4}\mathrm{J}/(\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}\cdot \mathrm{K})$，

      于是 $\frac{k_1}{k_2}\approx 16$，可得 $\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{1}{8h+1},h=\frac{l}{d}$

    • 通常若 $h\approx 4$，依照模型可使 $\frac{Q_1}{Q_2}\approx 3\%$，而实际环境下通常由于墙壁等热量流失，效果会差一些。

2.2 几何相似性模型

• 几何相似性模型：

  • 几何相似：如果两个物体各点之间存在一个一一对应，使得对应点之间的距离之比对所有可能的点对都不变（等于同一个常数）。
  • 特征量 $l$：面积 $S\propto l^2$，体积 $V\propto l^3$

• $例题三$ 钓鱼问题：垂钓者如何确定所钓到的鱼的重量呢？

  • 明确问题：根据某个容易测量的指标来预测鱼的重量

  根据目的选择合适模型，不用太复杂

  • 模型假设：

    1. 只考虑一种鱼（鲈鱼），其平均密度是常数，忽略性别和季节的影响。
    2. 鲈鱼形状的几何相似性

  • 模型一建立：误差大

    • 选取鱼的长度 $l$ 作为特征量，则 $W\propto l^3$
    • 根据数据估计参数

  • 模型二建立：减小误差，增加变量

    • 考虑肥瘦，再假设鱼的横截面是几何相似的。于是增加鱼的腰围 $g$ 作为特征量 $W\propto l{g}^2$
    • 根据数据估计参数

  • 模型解释：

    • 本题通过增加变量，使得估计结果更加准确

2.3 图模型

• 图模型：不知道具体定量函数，但可通过图像连线，找到函数变化关系。

• $例题四$ 实物交换：甲有物品 $X$，乙有物品 $Y$，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分，达到双方满意的结果。注意交换结果取决于双方对两种物品的偏爱程度。

  • 模型假设：

    1. 设交换前甲有物品 $X$ 的数量为 $x_0$，乙有物品 $Y$ 的数量为 $y_0$，则交换后若甲拥有物品 $X,Y$ 的数量分别为 $x,y$，则乙拥有的数量为 $x_0-x,y_0-y$。此时便可在 $xOy$ 坐标系中表示

       

  • 模型建立：

    • 无差别曲线：对甲来说，若拥有的物品数量 $p_1(x_1,y_1)$ 与 $p_2(x_2,y_2)$ 具有同样满意度，则称 $p_1,p_2$ 对甲是无差别的。于是将所有无差别的点连接，可画出无差别曲线。

      

      不妨将此曲线族记作 $f(x,y)=c_1$，其中 $c_1$ 称作满意度。

      易发现无差别曲线/等满意度曲线 $\sim f$ 有性质：

      1. 单调减
      2. 下凸：物以稀为贵
      3. 互不相交

      将乙的等满意度曲线 $g$ 在坐标系 $xOy$ 上反向相对 $f$

      

    • 交换路径：连接两族曲线连线，记作 $AB$，则双方满意的交换方案必在 $AB$ 上（因为在 $AB$ 外的任一点 $p^{\prime }$，必有至少一方满意度低于 $AB$ 上的点 $p$）

      目前交换方案从整个矩形缩小到曲线 $AB$

    • 等价交换准则：两种物品用同一种画笔衡量其价值，进行等价交换。不妨设交换前甲乙物品的占有量 $C(x_0,0),D(0,y_0)$ 具有相同价值。则在直线 $CD$ 上的点进行交换，都符合等价交换准则（$ax+by=s,s=a{x}_0=b{y}_0$）。

      

    • 于是双方满意的交换方案必为 $AB$ 与 $CD$ 的交点 $p$

• $例题五$ 核军备竞赛：在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态？估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响？当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化？

  • 模型假设：以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。假定双方采取如下同样的核威慑战略，

    1. 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地
    2. 己方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击
    3. 在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地
    4. 摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。

  • 模型建立：

    • 图的模型：

      • 设安全曲线 $y=f(x)$ 为甲拥有 $x$ 枚核导弹时，乙方采取核战略威慑所需的最小核导弹数；$x=f(y)$ 为乙方拥有 $y$ 枚核导弹时，甲方采取所需的最小核导弹数。

      • 设乙方的威慑值 $y_0=f(0)$，则 $y_0$ 表示甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数。

      • 则 $y=f(x)$ 具有性质：当 $x\uparrow$，$y\uparrow$，且 $y=f(x)\le y_0+x$（甲方一枚导弹至多摧毁乙方一个核导弹基地）

        

      • 画出曲线 $y=f(x),x=g(y)$，则两方安全区$y\ge f(x),x\ge g(y)$ 的公共部分称为双方安全区。于是平衡点 $P(x_m,y_m)$ 为稳定状态下，双方分别拥有的最小核弹数。

    • 模型精细化：设乙方残存率 $s$ 代表甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。

      于是寻找 $x,y$ 关系的具体形式
      { y 0 = s x + y − x , x < y y 0 = s y , x = y y 0 = s 2 ( x − y ) + s ( 2 y − x ) , y < x < 2 y y 0 = s 2 y , x = 2 y y 0 = s a y , x = a y \begin{cases}\begin{aligned} &y_0=sx+y-x,&&x⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​​y0​=sx+y−x,y0​=sy,y0​=s2(x−y)+s(2y−x),y0​=s2y,y0​=say,​​x<yx=yy<x<2yx=2yx=ay​​
      有
      $$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlrl}& y=y_0+(1-s)x,& & x<y\\ & y=\frac{y_0}{s},& & x=y\\ & y=\frac{y_0}{s(2-s)}+\frac{1-s}{2-s}x,& & y<x<2y\\ & y=\frac{y_0}{s^2},& & x=2y\\ & y=\frac{y_0}{s^a},& & x=ay\end{array}\end{array}$$
      于是利用微积分可知 $f(x)$ 为一条上凸且右凸的曲线。若 $y_0\uparrow$，则曲线上移；若 $s\uparrow$，则曲线变平。
      

  • 模型解释：

    1. 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标。则 $y_0\uparrow$，使得 $y=f(x)$ 上移，平衡点 $P(x_m,y_m)$ 上移到 $P^{\prime }(x_m^{\prime },y_m^{\prime })$。故甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。
    2. 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架。则乙安全线 $y=f(x)$ 不变，甲残损率 $s_{甲}$ 变大，$x_0$ 不变，$x$ 减小，平衡点 $P(x_m,y_m)$ 下移到 $P^{\prime }(x_m^{\prime },y_m^{\prime })$。故甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少。