读书笔记：Poisson 过程 {N(t), t≥0} 的数字特征
【Poisson 过程 {N(t), t≥0} 的数字特征】
∙ E [ N ( t ) − N ( s ) ] = D [ N ( t ) − N ( s ) ] = λ ( t − s ) \bullet\ E[N(t)-N(s)]=D[N(t)-N(s)]=\lambda(t-s) ∙ E[N(t)−N(s)]=D[N(t)−N(s)]=λ(t−s)
∘ E [ N ( t ) ] = λ t = D [ N ( t ) ] , （ 此 结 论 由 上 式 中 ， 当 s = 0 时 ， N ( s ) = N ( 0 ) = 0 推 出 ） \circ\ E[N(t)]= \lambda t=D[N(t)], （此结论由上式中，当s=0时，N(s)=N(0)=0 推出） ∘ E[N(t)]=λt=D[N(t)],（此结论由上式中，当s=0时，N(s)=N(0)=0推出）
∙ 自 相 关 函 数 ： E [ N ( t ) N ( s ) ] = E { N ( s ) [ N ( t ) − N ( s ) + N ( s ) ] } \bullet\ 自相关函数：E[N(t)N(s)]=E\{N(s)[N(t)-N(s)+N(s)]\} ∙ 自相关函数：E[N(t)N(s)]=E{N(s)[N(t)−N(s)+N(s)]}
= E { [ N ( s ) − N ( 0 ) ] [ N ( t ) − N ( s ) ] } + E [ N ( s ) ] 2 =E\{[N(s)-N(0)][N(t)-N(s)]\}+E[N(s)]^2 =E{[N(s)−N(0)][N(t)−N(s)]}+E[N(s)]2
= λ s ⋅ λ ( t − s ) + λ s + ( λ s ) 2 = λ s ( λ t + 1 ) =\lambda s \cdot \lambda (t-s) + \lambda s +(\lambda s)^2=\lambda s(\lambda t+1) =λs⋅λ(t−s)+λs+(λs)2=λs(λt+1)
∘ 协 方 差 函 数 ： C o v ( N ( s ) , N ( t ) ) = E [ N ( s ) N ( t ) ] − E [ N ( s ) ] E [ N ( t ) ] \circ\ 协方差函数：Cov(N(s),N(t))=E[N(s)N(t)]-E[N(s)]E[N(t)] ∘ 协方差函数：Cov(N(s),N(t))=E[N(s)N(t)]−E[N(s)]E[N(t)]
= λ s ( λ t + 1 ) − λ s ⋅ λ t = λ s =\lambda s(\lambda t+1)-\lambda s \cdot \lambda t=\lambda s =λs(λt+1)−λs⋅λt=λs
【例题】
一书亭用邮寄订阅销售杂志，订阅的顾客数是强度为6的一个泊松过程，每位顾客订阅1年，2年，3年的概率分别为1/2，1/3，1/6，彼此如何订阅是相互独立的。每订阅一年，店主即获利5元，设 Y ( t ) Y(t) Y(t)是 [ 0 , t ) [0,t) [0,t)时段内，店主从订阅中所获得总收入。试求：
(1) E [ Y ( t ) ] E[Y(t)] E[Y(t)] (即 [ 0 , t ) [0,t) [0,t)时段内总收入的平均收入)
(2) D [ Y ( t ) ] D[Y(t)] D[Y(t)]
解：设 N ( t ) N(t) N(t)为订阅杂志的顾客数， N i ( t ) N_i (t) Ni(t)为 [ 0 , t ) [0,t) [0,t)时段内订阅 i i i 年 ( i = 1 , 2 , 3 ) (i=1,2,3) (i=1,2,3)的顾客数。
据题设，知 N ( t ) = N 1 ( t ) + N 2 ( t ) + N 3 ( t ) N(t)=N_1(t)+N_2(t)+N_3(t) N(t)=N1(t)+N2(t)+N3(t)，且 N ( t ) ∼ π ( 6 t ) ， N 1 ( t ) ∼ π ( 3 t ) ， N 2 ( t ) ∼ π ( 2 t ) ， N 3 ( t ) ∼ π ( t ) N(t) \sim \pi(6t)，N_1(t) \sim \pi(3t)，N_2(t) \sim \pi(2t)，N_3(t) \sim \pi(t) N(t)∼π(6t)，N1(t)∼π(3t)，N2(t)∼π(2t)，N3(t)∼π(t)。
记 Y ( t ) Y(t) Y(t)为 [ 0 , t ) [0,t) [0,t)内店主的总收入，则 Y ( t ) = 5 N 1 ( t ) + 10 N 2 ( t ) + 15 N 3 ( t ) Y(t)=5N_1(t)+10N_2(t)+15N_3(t) Y(t)=5N1(t)+10N2(t)+15N3(t)，（因为，每订阅一年，店主即获利5元）。可得：
E [ Y ( t ) ] = 5 E [ N 1 ( t ) ] + 10 E [ N 2 ( t ) ] + 15 E [ N 3 ( t ) ] = 5 × 3 t + 10 × 2 t + 15 t = 50 t E[Y(t)]=5E[N_1(t)]+10E[N_2(t)]+15E[N_3(t)]=5 \times 3t + 10 \times 2t + 15t=50t E[Y(t)]=5E[N1(t)]+10E[N2(t)]+15E[N3(t)]=5×3t+10×2t+15t=50t
D [ Y ( t ) ] = 25 D [ N 1 ( t ) ] + 100 D [ N 2 ( t ) ] + 225 D [ N 3 ( t ) ] = 25 × 3 t + 100 × 2 t + 225 t = 500 t D[Y(t)]=25D[N_1(t)]+100D[N_2(t)]+225D[N_3(t)]=25 \times 3t + 100 \times 2t + 225t=500t D[Y(t)]=25D[N1(t)]+100D[N2(t)]+225D[N3(t)]=25×3t+100×2t+225t=500t
【本文的LaTeX代码】
【Poisson 过程 {N(t), t≥0} 的数字特征】
$\bullet\ E[N(t)-N(s)]=D[N(t)-N(s)]=\lambda(t-s)$
$\circ\ E[N(t)]= \lambda t=D[N(t)], （此结论由上式中，当s=0时，N(s)=N(0)=0 推出）$
$\bullet\ 自相关函数：E[N(t)N(s)]=E\{N(s)[N(t)-N(s)+N(s)]\}$
$=E\{[N(s)-N(0)][N(t)-N(s)]\}+E[N(s)]^2$
$=\lambda s \cdot \lambda (t-s) + \lambda s +(\lambda s)^2=\lambda s(\lambda t+1)$
$\circ\ 协方差函数：Cov(N(s),N(t))=E[N(s)N(t)]-E[N(s)]E[N(t)]$
$=\lambda s(\lambda t+1)-\lambda s \cdot \lambda t=\lambda s$
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【例题】
一书亭用邮寄订阅销售杂志，订阅的顾客数是强度为6的一个泊松过程，每位顾客订阅1年，2年，3年的概率分别为1/2，1/3，1/6，彼此如何订阅是相互独立的。每订阅一年，店主即获利5元，设$Y(t)$是$[0,t)$时段内，店主从订阅中所获得总收入。试求：
(1) $E[Y(t)]$ (即$[0,t)$时段内总收入的平均收入)
(2) $D[Y(t)]$
解：设$N(t)$为订阅杂志的顾客数，$N_i (t)$为$[0,t)$时段内订阅 $i$ 年$(i=1,2,3)$的顾客数。
据题设，知$N(t)=N_1(t)+N_2(t)+N_3(t)$，且$N(t) \sim \pi(6t)，N_1(t) \sim \pi(3t)，N_2(t) \sim \pi(2t)，N_3(t) \sim \pi(t)$。
记$Y(t)$为$[0,t)$内店主的总收入，则 $Y(t)=5N_1(t)+10N_2(t)+15N_3(t)$，（因为，每订阅一年，店主即获利5元）。可得：
$E[Y(t)]=5E[N_1(t)]+10E[N_2(t)]+15E[N_3(t)]=5 \times 3t + 10 \times 2t + 15t=50t$
$D[Y(t)]=25D[N_1(t)]+100D[N_2(t)]+225D[N_3(t)]=25 \times 3t + 100 \times 2t + 225t=500t$