常见函数讲解1：欧拉函数

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前言

作者在OI生活早期的时候，经常遇到一些数学题不会，点开题解发现许多跟数论上的函数有关，题解的语言又晦涩难懂，从此对数学心有余悸，相信许多OIer也同样是如此。这几篇博客，作者将对OI数论中常出现的几个函数进行解读，希望读者能解开对数学的心结。

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积性函数

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概念

积性函数是对数论中一系列有特殊性质函数的统称，性质如下：

若gcd(a,b)=1, f(ab)=f(a)f(b),那么f则是积性函数。

特别地，假如对于任意的a、b，即 gcd(a,b)≠1 也有 f(ab)=f(a)f(b) ，那么称f是完全积性函数。

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小扩展

一个有趣的事实：

对于函数g(n)=∑d|nf(d),如果g是积性函数，那么f也是积性函数。

上面那个式子中， d|n 的意思是在枚举 n 的所有约数。证明的话可以使用归纳法，作者将会在后面补上一篇关于上述式子证明的博客，读者也可以尝试自己推导一下。

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常见积性函数

1、e(n)=[n=1].
单位元函数，即只有在 n 为1的时候函数值为1，其它时候函数值均为0.

2、id(n)=n.
这个可以理解成就是 y=x .

3、 1(n)=1 .
可以理解成直线 y=1 .

4、 φ(n)=∑ni=1[gcd(i,n)=1] .
欧拉函数，本次要讲解的主角，表示小于n且与n互质的正整数的个数.

5、 μ(n)={0, ∃d>1,d2|n(−1)k,n=∏ki=1pi
莫比乌斯函数，本文不作探究，详见下一篇博客。

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小结

积性函数在数论中十分常见，一个函数假如有积性那么就多了许多解析的方法，在你涉（shua）猎（ti）的数值达到一定量的时候会发现积性是个亲切的东西，比如我们可以利用欧拉函数和莫比乌斯函数的积性来进行线性筛，O(n)时间求得所有欧拉函数、莫比乌斯函数值。

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欧拉函数

注：阅读以下内容时请拿出笔和纸，下面涉及的计算量比较大，用笔算一算将助于理解。

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概念

正如上一节所述，欧拉函数 φ(n) 表示的含义即是小于n且与n互质的正整数的个数。定义式如下：

φ(n)=∑i=1n[(gcd(i,n)=1]

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基本性质

• 1.对于一个质数p， φ(p)=p−1.

证明：根据质数的定义，对于任意一个不是p倍数的正整数x，总有 gcd(p,x)=1 ，即p与x互质。在1~p之间，只有1 × p是p的倍数，故在1~p中，与p互质的数为1到p-1，共p-1个， φ(p)=p−1 。

• 2.对于一个质数p， φ(pk)= pk−pk−1= pk−1×(p−1)= pk−1×φ(p) .

证明：我们知道，在1~p之间与p不互质的数共1个，在1~2 × p之间与p不互质的数共2个……在1~ pk−1×p 之间有 pk−1 个。所以在1~ pk 之间与p不互质的数有 pk−1 个，互质的那就是 pk−pk−1 ，故 φ(pk)= pk−pk−1 ，即第二个式子。然后提取公因数 pk−1 得到第三个式子。结合性质1得到第四个式子。

• 3.对于一个数n，我们将其质因数分解为n= ∏ki=1prii ，那么
  φ(n)= ∏i=1kφ(prii)= ∏i=1kpri−1×(p−1)= n×∏i=1k(1−1pi)
  .

证明：由于欧拉函数有积性， φ(ab)=φ(a)φ(b) ，所以有 φ(n)= ∏ki=1φ(prii) 。结合性质2的第三个式子，我们可以得到第三个式子。对于第三个式子，我们提取一个公因子p，得到

∏i=1kpri×(1−1pi)= (∏i=1kpri)×(∏i=1k(1−1pi))= n×∏i=1k(1−1pi).

得证。

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扩展性质

• 1.假如a，b不互质，那么 φ(ab) 等于什么呢？

结论：令d=gcd(a,b)，则φ(ab)= φ(a)φ(b)dφ(d).

证明：

将a、b、d质因数分解成

a=∏i=1mpr1ii， b=∏i=1mpr2ii， d=∏i=1mpmin(r1i, r2i)i

那么 a×b 可以分解成

a×b=∏i=1mpr1i+r2ii

结合基本性质3，有：

φ(a)=∏i=1mφ(pr1ii)， φ(b)=∏i=1mφ(pr2ii)， φ(d)=∏i=1mφ(pmin(r1i, r2i)i)，φ(a×b)=∏i=1mφ(pr1i+r2ii)

所以，我们将原式转化成如下形式：

∏i=1mφ(pr1i+r2ii)=∏mi=1φ(pr1ii)×∏mi=1φ(pr2ii)×∏mi=1pmin(r1i, r2i)i∏mi=1φ(pmin(r1i, r2i)i)

结合基本性质3，进一步转化：

左边=∏i=1mpr1i+r2i−1i(pi−1)

右边=∏mi=1pr1i−1i(pi−1)×∏mi=1pr2i−1i(pi−1)×∏mi=1pmin(r1i, r2i)i∏mi=1pmin(r1i, r2i)−1i(pi−1)

= ∏i=1mpr1i−1i(pi−1)× pr2i−1i(pi−1)× pmin(r1i, r2i)ipmin(r1i, r2i)−1i(pi−1)

对上面那一长串式子进行约分，我们发现右边等于左边，得证。

• 2.对于任意正整数n， φ(n) 与 n 有什么样的关系？

结论：n=∑d|nφ(d).

证明：
我们不妨换个角度思考一下。

我们知道 n=∑ni=11 ，如何解读这个简单式子呢？我们把n看成一个确定的数，这个式子就可以理解成：枚举1~n中的每一个数i，每个 f(n,i) 只产生1的贡献，统计每个 f(n,i) 产生的贡献和。

换句话说，我们本来想统计 ∑ni=1f(n,i) ，但由于每一个 f(n,i) 都等于1，所以变成了 ∑ni=11.

于是，现在的关键变成了寻找这个特殊的 f(n,i). 正好我们发现了一个。

我们知道，在1~n中的每一个i，它与n的最大公约数有且仅有一个，且最大公约数一定在1~n这个范围之内。我们可以令 f(n,i)=[gcd(n,i)=d] ，（[中括号]内的表达式若为真则值为1，否则为0）然后在1~n中枚举最大公约数d，对每一个i进行判断，不就满足上面的式子了！

也就是：

n=∑i=1n1=∑d=1n∑i=1n[gcd(n,i)=d].

其中d枚举的是最大公约数，i枚举的是1~n中的每一个i， f(n,i)=[gcd(n,i)=d] 。

其实我们发现，d的取值一定是n的约数，并不需要枚举1~n中的所有数，所以有：

n=∑d=1n∑i=1n[gcd(n,i)=d]=∑d|n∑i=1n[gcd(n,i)=d].

对上面第三个式子进一步转化：

∑d|n∑i=1n[gcd(n,i)=d]=∑d|n∑i=1n[gcd(nd,id)=1]×[ d|i ]

观察上面第二个式子，之所以转化成这么鬼畜的东西是因为第一个式子中 [gcd(n,i)=d] 这个式子值为1的时候， d 一定是i的约数，所以在第二个式子中也必须要满足 d 是i的约数时， [gcd(nd,id)=1] 才有贡献。

转化到这里，细心的读者估计也发现了，第二个式子中 id 的取值范围实际上是1~ nd ，所以 ∑ni=1[gcd(nd,id)=1]×[ d|i ] 其实就是在枚举在1~ nd 中，有多少个数与 nd 互质，这不就是 φ(nd) 吗？

至此，我们便将原式转化成：

n=∑d|n∑i=1n[gcd(nd,id)=1]×[ d|i ]=∑d|nφ(nd).

得证。

其实还有一种有趣的证明，我会在后面连同上面积性函数小扩展的证明一同发布一篇博客。

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欧拉函数求法

• 1.质因数分解.

假如我们只想求解1个或者少量正整数的欧拉函数，那么

根据基本性质3，

φ(n)=n×∏i=1k(1−1pi)=n×∏i=nk(pi−1)pi

我们可以把n质因数分解，然后带入上述第三个式子求得。时间复杂度O( n√ ).

int get_phi(int n){
    int back = n;
    for(int p = 2; p*p <= n; ++ p){
        if(n%p == 0){
            back = back/p*(p-1);
            while(n%p == 0)
                n /= p;
        }
    }
    if(n != 1)
        back = back/n*(n-1);

    return back;
}

• 2.线性筛

注：默认读者已经掌握线性筛质数.

假如想要求1~n范围内所有数的欧拉函数，那么上面的质因数分解法的复杂度会高达 O(nn√) ，有没有更快速的方法呢？

由于欧拉函数有积性，所以结合扩展性质1：

令d=gcd(a,b)，则φ(ab)= φ(a)φ(b)dφ(d).

我们可以通过线性筛质数，在筛出合数 x×prij 的同时计算出 φ(x×prij) 。（注： prij 为已经筛出来的质数，见线性筛）

不过，需要分2种情况计算：

1. x与 prij 互质.

   这种情况比较简单。由于 d=1 ， φ(d)=1 ，所以

   φ(x×prij)=φ(x)×φ(prij)
   直接计算即可。

2. x与 prij 不互质.
   这种情况下， x 只可能是prij的倍数，故 d=gcd(x,prij)=prij ，所以：

   φ(x×prij)=φ(x)φ(prij)prijφ(prij)=φ(x)×prij.
   
   带入计算即可。

bool vis[1000005];
int tot=0, pri[1000005], phi[1000005];

void Get_phi(int N){
    phi[1] = 1;
    for(int i=2; i<=N; ++i){
        if(!vis[i]){
            pri[++tot] = i;
            phi[i] = i-1;
        }
        for(int j=1,x; j<=tot&&(x=i*pri[j])<=N; ++j){
            vis[x] = true;
            if(i%pri[j] == 0){
                phi[x] = phi[i]*pri[j];
                break;
            }
            else phi[x] = phi[i]*phi[pri[j]];
        }
    }
}

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小结

欧拉函数的讲解就先告一段落，其实欧拉函数与其它的函数甚至定理有许多关联的地方，我将在今后为大家讲解。假如有地方没有听懂，随时欢迎骚扰。

——wrote by miraclejzd