图解算法：LIS问题，单调队列+二分优化
关注下方公众号，分享硬核知识
作者 | 小K
出品 | 公众号：小K算法 （ID：xiaok365）
01
故事起源
LIS：Longest Increasing Subsequence(最长递增子序列)。
给你一个整数数组，如何求出其中最长的严格递增子序列的长度？
比如下面绿色和蓝色都是符合要求的子序列，但蓝色的子序列更长，所以最大长度为4。
02
思考
要求最长子序列的长度，那肯定要先找出这个最长的子序列。比如下面蓝色的子序列就是我们要找的序列。
所以整个数组的元素就可以分为两类，一类是属于最终的目标序列，一类是不属于最终的目标序列。
那我们要怎么确定一个元素是否应该选取到目标序列呢？咱们还是从小规模开始分析吧，懂的都懂(小K式思维法)。
03
小规模分析
3.1
一个元素
如果只有一个元素，那自然是要选了，最大长度为1。
3.2
两个元素
如果再加第2个元素，满足递增子序列，两个都选，最大长度为2。
如果再加第2个元素是这样的，选了第1个就选不了第2个，不选第1个就可以选第2个。但怎么选都只能选1个，最大长度是1。
3.3
三个元素
如果选取了前面2个元素，再加第3个元素，已经无法再选取，最大长度为2。
如果前面只选取第1个元素，再加第3个元素，可以选取第3个元素，最大长度也为2。
请问你发现什么规律了吗？
因为是递增序列，所以一个元素能不能选，跟之前选择的最后一个元素有关。如果大于最后一个元素就可以选择，如果小于或等于就无法选择。
04
抽象分析
如果不考虑任何规律，每个元素可以选或不选， 个元素就有 种选取方法。当然要保证递增序列，就可以排除很多不合理的情况，但规模依然很大。
假设原问题已经找到了最大的子序列，现在我再给你加一个元素进来，选还是不选呢？
如果原问题最大长度为X，那选择最新的元素的前提就是最大长度能变成X+1，如果选了长度没变甚至更小那肯定就不选。说明新的元素一定要能接在之前的最优解后面才可选取。
数据规模每扩大一次，最优解也是在之前的最优解上面扩充。
再根据第3小节的分析，对于每一个最优解，其实我们并不关注前面的X-1个元素是怎么选择的，只关注第X个元素是选的啥，那就可以从小规模开始枚举，求出以每个元素作为结尾时的最大长度，这样就可以递推出更大规模的最优解，这其实就是动态规划的思想。
05
动态规划
设 表示以第 个元素为结尾，能得到的最大的长度，那么 一定是从之前的某个最优解递推过来。
即。
代码实现
void dp() {
int a[100], f[100], ans = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
cin >> a[i];
f[i] = 1;
for (int j = 0; j < i; ++j) {
if (a[j] < a[i]) {
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
}
}
ans = max(ans, f[i]);
}
cout << ans << endl;
}
动态规划的复杂度为 ，当 很大时效率就很低了，那能不能继续优化呢，这就还得继续找本质规律。
06
哪里有问题呢
6.1
长度相等，高度更矮
如果前4个元素是这样的：
选取前2个长度为2，选取后2个长度也是2，但明显选取后2个更好，因为末位的高度更矮。
如果再加一个元素15，那就可以接在后面变成更大的长度3，但如果选择前面两个就不行。说明前面2个可以直接抛弃。
6.2
长度更长，高度更矮
如果前5个元素是这样的：
选取前2个长度为2，选取后3个长度为3，而且高度更矮，明显更优。说明前面2个也应该直接抛弃。
6.3
长度更长，高度更高
如果前3个元素是这样的：
选取前2个长度为2，选取第3个长度为1。虽然前面的高度更高了，但长度也更大，不能直接抛弃。
比如再来一个元素18，就可以直接接在前面2个之后，长度为3。
6.4
公式分析
再回到之前的DP递推公式，在求每一个 时，其实都是从之前找一个符合要求的最大的 。之前的方法是枚举每一个，这样查找自然效率就比较低，那能否更快的找到我们想要的 呢?
6.1~6.3分析了不同的情况，其实我们只需要保留6.3中的情况，长度更长，末位更高。把这些单独拿出来再看，其实就是一个单调上升队列，长度和高度同步单调递增。对于一个单调有序的队列，你会怎么查找呢，当然最快就是二分查找了啊。
再看上面的 和 其实可以放在一起，这时 的含义就变成长度为 时末尾的最小值，我们只需要维护这个一维队列即可。
6.5
如何维护
从左开始扫描每一个数，如果当前数 等于队尾的数则直接抛弃。
如果当前数 大于列尾的数，就直接加入队尾。
如果当前数 小于列尾的数，就通过二分查找，找到刚好大于 的数 ，并用 替换 。
这样最终的 队列的长度就是我们要找的最长递增子序列长度。
07
算法实现
在通过二分查找时，要注意几个细节，就是 指针最终停留的位置有不同的情况。
如下 。
如下 。
如下 。
所以在更新的时候需要判断。
代码实现
void greed() {
int f[1000], x, num = 0;
f[0] = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
cin >> x;
if (x == f[num]) {
continue;
}
if (x > f[num]) {
f[++num] = x;
continue;
}
int l = 0, r = num, mid;
while (l < r) {
mid = (l + r) / 2;
if (f[mid] == x) {
l = mid;
break;
}
if (f[mid] < x) {
l = mid + 1;
} else {
r = mid - 1;
}
}
//最后停留位置，>,<,=都有可能，小于更新当前位置，大于更新后一位置
if (x < f[l]) { f[l] = x; }
else if (x > f[l]) {
f[l + 1] = x;
}
}
cout << num << endl;
}
08
总结
这是一道比较经典的动态规划问题，公式也很简单。但不论是通过原问题模拟过程的分析，还是直接通过递推公式分析，都可以发现有很多冗余的操作，这些就是我们优化的切入点，单调队列在DP中是很常用的优化技巧，而单调有序性就可以结合二分查询提高效率。以后可以再给大家讲讲其它的几种常用DP优化技巧。
本文原创作者：小K，一个思维独特的写手。
文章首发平台：微信公众号【小K算法】。
如果喜欢小K的文章，请点个关注，分享给更多的人，小K将持续更新，谢谢啦！
关注下方公众号，分享硬核知识
关注我，涨知识
原创不易，感谢分享
转发，点赞，在看！
▼
往期精彩回顾
▼
算法面试题：均分纸牌
图解算法：冒泡排序
巴什博弈：取石子游戏
分享给更多朋友，转发，点赞，在看