对于线性变换、基变换和坐标变换的理解

线性变换是一种特殊的线性映射，是线性空间到自身的映射。设n维线性空间$M$上的线性变换$T$，对任意向量$v\in M$，取一组线性无关的基$v_1,v_2\dots \dots v_n\in M$，有

$v=x_1{v}_1+x_2{v}_2+\dots +x_n{v}_n$

即 $v$在基 $v_1,v_2\dots \dots v_n\in M$中的坐标为 $(x_1,x_2\dots x_n)$，记为 $v=Vx\cdots \cdots (1)$。
取一组线性无关的基 $w_1,w_2\dots \dots w_n\in M$，
有

$v=y_1{w}_1+y_2{w}_2+\dots +y_n{w}_n$

即 $v$在基 $w_1$, $w_2\dots \dots w_n\in M$中的坐标为 $(y_1,y_2\dots y_n)$，记为 $v=Wy\cdots \cdots (2)$。
则对于线性变换T，有 $T\left(v\right)=T(x_1{v}_1+x_2{v}_2+\dots +x_n{v}_n)$，根据线性变换的性质，
可得

$T\left(v\right)=x_{1}T\left(v_1\right)+x_{2}T\left(v_2\right)+\dots +x_{n}T(v_n)$

且

$T\left(v\right)=x_1^{{}^{\prime }}{v}_1+x_2^{{}^{\prime }}{v}_2+\dots +x_n^{{}^{\prime }}{v}_n$

其中 $(x_1^{{}^{\prime }},x_2^{{}^{\prime }}\dots x_n^{{}^{\prime }})$是 $T\left(v\right)$在基 $v_1,v_2\dots \dots v_n$中的坐标。
令

$T\left(v_1\right)=a_{11}{v}_1+a_{21}{v}_2+\dots +a_{n1}{v}_n$
$T\left(v_2\right)=a_{12}{v}_1+a_{22}{v}_2+\dots +a_{n2}{v}_n$
$\dots$
$T\left(v_n\right)=a_{1n}{v}_1+a_{2n}{v}_2+\dots +a_{nn}{v}_n$

记矩阵 $A_{n\times n}=[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \dots & a_{nn}\end{array}]$，称矩阵A为线性变换 $T$在基 $v_1,v_2\dots \dots v_n$下的矩阵。

则对$v$的线性变换$T(v)$可表示为$T(x)=A_{n\times n}x$.

其中$x和T(x)$表示$v和T\left(v\right)在基v_1,v_2\dots \dots v_n下的坐标,$

$x=[x_1,x_2\dots x_n{]}^T,x_i\in \mathbb{R}$
$T\left(x\right)=[x_1^{{}^{\prime }},x_2^{{}^{\prime }}\dots x_n^{{}^{\prime }}{]}^T,x_i^{{}^{\prime }}\in \mathbb{R}$

这就是线性变换的矩阵表达，由此可见，同一个线性变换 $T$在不同基下的矩阵表达是不同的。

注意一种特殊的变换$T\left(v\right)=v$，这是一个恒等变换，当输入基和输出基都是同一组基时，如自然基，对应的变换矩阵$A$是单位矩阵$I$，然而输入基与输出基不同时，恒等变换矩阵将不是单位矩阵$I$。

观察基向量$w_1$，这个向量可由$空间M$中的另一组基的线性组合表示，即

$w_1=c_{11}{v}_1+c_{21}{v}_2+\dots +c_{n1}{v}_n$

则可得

$[w_1,w_2\dots \dots w_n]=\left[v_1,v_2\dots \dots v_n\right][\begin{array}{ccc}{c}_{11}& \cdots & c_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ c_{n1}& \dots & c_{nn}\end{array}]$

记为$W=VC$，矩阵$C$称为由基$v_1,v_2\dots \dots v_n$到基$w_1,w_2\dots \dots w_n$的过渡矩阵，并且矩阵$C$是可逆的，即$C^{-1}$存在。这便是基变换公式。

因为V,W中的列线性无关，所以矩阵可逆，则有

$Vx=Wy且W=VC$

可得

$x=Cy$ 或 $y=C^{-1}x$

这便是坐标变换公式。

若有错误，欢迎指正。

参考文献
[1] 方保镕，周继东，李医民.矩阵论（第2版）[M].清华大学出版社