《算法和数据结构》题海战术篇
文章目录
- 1️⃣前言：追忆我的刷题经历
- 2️⃣算法和数据结构的重要性
-
- 1、适用人群
- 2、有何作用
- 3、算法简介
- 4、数据结构
- 3️⃣如何开始持续的刷题
-
- 1、立军令状
- ❤️2、培养兴趣
- 3、狂切水题
- 4、养成习惯
- 5、一周出师
- 4️⃣简单数据结构的掌握
-
- 1、数组
- 2、字符串
- 3、链表
- 4、哈希表
- 5、队列
- 6、栈
- 7、二叉树
- 8、多叉树
- 9、森林
- 10、树状数组
- 11、图
- 5️⃣简单算法的入门
-
- 10、简单动态规划
- 6️⃣刷题顺序的建议
-
- 1、入门算法
- 2、初级算法
- 3、中级算法
- 7️⃣系统学习算法和数据结构
-
- 1、进阶动态规划
- 2、强劲图论搜索
- 0️⃣3、进阶初等数论
- 4、进阶计算几何
- 5、字符串的匹配
- 6、高級数据结构
1️⃣前言：追忆我的刷题经历
学习算法最好的方法就是刷题了，上大学的时候刷过一些，最近开始转战 LeetCode。
让天下没有难学的算法
C语言免费动漫教程，和我一起打卡！ 《光天化日学C语言》
入门级C语言真题汇总 《C语言入门100例》
几张动图学会一种数据结构 《画解数据结构》
组团学习，抱团生长 《算法入门指引》
竞赛选手金典图文教程 《夜深人静写算法》
2️⃣算法和数据结构的重要性
1、适用人群
- 这篇文章会从 「算法和数据结构」 零基础开始讲，所以，如果你是算法大神，可以尽情在评论区嘲讽我哈哈，目的当然是帮助想要涉足算法领域，或者正在找工作的朋友，以及将要找工作的大学生，更加有效快速的掌握算法思维，能够在职场面试和笔试中一展身手。
- 这篇文章中，我会着重讲解一些常见的 「算法和数据结构」 的设计思想，并且配上动图。主要针对面试中常见的问题和新手朋友们比较难理解的点进行解析。当然，后面也会给出面向算法竞赛的提纲，如果有兴趣深入学习的欢迎在评论区留言，一起成长交流。
- 零基础学算法的最好方法，莫过于刷题了。任何事情都是需要坚持的，刷题也一样，没有刷够足够的题，就很难做出系统性的总结。所以上大学的时候，我花了三年的时间来刷题， 工作以后还是会抽点时间出来刷题。
千万不要用工作忙来找借口，时间挤一挤总是有的。
- 我现在上班地铁上一个小时，下班地铁又是一个小时。比如这篇文章的起草，就是在 地铁 上完成的。如何利用这两个小时的时间，做一些有建设性的事情，才是最重要的。刷抖音一个小时过得很快，刷题也是同样的道理。
- 当然，每天不需要花太多时间在这个上面，把这个事情做成一个规划，按照长期去推进。反正也没有 KPI 压力，就当成是工作之余的一种消遣，还能够提升思维能力。何乐而不为！
所以，无论你是 小学生，中学生，高中OIer，大学ACMer，职场人士，只要想开始，一切都不会太晚！
2、有何作用
- 我们平常使用的 智能手机、搜索引擎、网站、操作系统、游戏、软件、人工智能，都大量地应用了 「算法与数据结构」 的知识，以及平时你用到的各种库的底层实现，也是通过各种算法和数据结构组合出来的，所以可以说，有程序的地方，就有
江湖算法，有算法就一定会有对应的数据结构。 - 如果你只是想学会写代码，或许 「算法与数据结构」 并不是那么重要，但是想要往更深一步发展，「算法与数据结构」 是必不可少的。
现在一些主流的大厂，在面试快结束的时候都会 奉上一道算法题，如果你敲不出来，可能你的 offer 年包就打了 七折，或者直接与 offer 失之交臂，都是有可能的（因为我自己也是万恶的面试官，看到候选人的算法题写不出来我也是操碎了心，但是我一般会给足容错，比如给三个算法题，挑一个写，任意写出一个都行）。
- 当然，它不能完全代表你的编码能力，因为有些算法确实是很巧妙，加上紧张的面试氛围，想不出来其实也是正常的，但是你能确保面试官是这么想的吗？我们要做的是十足的准备，既然决定出来，offer 当然是越高越好，毕竟大家都要养家糊口，房价又这么贵，如果能够在算法这一块取得先机，也不失为一个捷径。
所以，你问我算法和数据结构有什么用？我可以很明确的说，和你的年薪息息相关。
- 当然，面试中 「算法与数据结构」 知识的考察只是面试内容的一部分。其它还有很多面试要考察的内容，当然不是本文主要核心内容，这里就不做展开了。
3、算法简介
- 算法是什么东西？
- 它是一种方法，一种解决问题的方案。
- 举个例子，你现在要去上班，可以选择 走路、跑步、坐公交、坐地铁、自己开车 等等，这些都是解决方案。但是它们都会有一些衡量指标，让你有一个权衡，最后选择你认为最优的策略去做。
- 而衡量的指标诸如：时间消耗、金钱消耗、是否需要转车、是否可达 等等。
时间消耗就对应了：时间复杂度
金钱消耗就对应了：空间复杂度
是否可达就对应了：算法可行性
- 当然，是否需要转车，从某种程度上都会影响 时间复杂度 或者 空间复杂度。
4、数据结构
- 对于实现某个算法，我们往往会用到一些数据结构。
- 因为我们通常不能一下子把数据处理完，更多的时候需要先把它们放在一个容器或者说缓存里面，等到一定的时刻再把它们拿出来。
- 这其实是一种 「空间换时间」 思想的体现， 恰当使用数据结构可以帮助我们高效地处理数据。
- 常用的一些数据结构如下：
| 数据结构 | 应用场景 |
|---|---|
| 数组 | 线性存储、元素为任意相同类型、随机访问 |
| 字符串 | 线性存储、元素为字符、结尾字符、随机访问 |
| 链表 | 链式存储、快速删除 |
| 栈 | 先进后出 |
| 队列 | 先进先出 |
| 哈希表 | 随机存储、快速增删改查 |
| 二叉树 | 对数时间增删改查，二叉查找树、线段树 |
| 多叉树 | B/B+树 硬盘树、字典树 字符串前缀匹配 |
| 森林 | 并查集 快速合并数据 |
| 树状数组 | 单点更新，成段求和 |
- 为什么需要引入这么多数据结构呢？
答案是：任何一种数据结构是不是 完美的。所以我们需要根据对应的场景，来采用对应的数据结构，具体用哪种数据结构，需要通过刷题不断刷新经验，才能总结出来。
3️⃣如何开始持续的刷题
- 有朋友告诉我，题目太难了，根本不会做，每次都是看别人的解题报告。
1、立军令状
- 所谓 「军令状」，其实就是给自己定一个目标，给自己树立一个目标是非常重要的，有 「目标才会有方向，有目标才会有动力，有目标才会有人生的意义」 。而军令状是贬义的，如果不达成就会有各种惩罚，所以其实你是心不甘情不愿的，于是这件事情其实是无法持久下去的。
事实证明，立军令状是不可取的。
- 啊这……所以我们还是要采用一些能够持久下去的方法。
❤️2、培养兴趣
- 为了让这件事情能够持久下去，一定要培养出兴趣，适时的给自己一些正反馈。正反馈的作用就是每过一个周期，如果效果好，就要有奖励，这个奖励机制可以自己设定，但是 「不能作弊」 ，一旦作弊就像单机游戏修改数值，流失是迟早的事。
- 举个例子，我们可以给每天制定一些 「不一样的目标和奖励」 ，比如下图所示：
| 刷题的第?天 | 目标题数 | 是否完成 | 完成奖励 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | ？ | 攻击力 + 10 |
| 2 | 1 | ？ | 防御力 + 10 |
| 3 | 2 | ？ | 出去吃顿好的 |
| 4 | 2 | ？ | 攻击力 + 29 |
| 5 | 3 | ？ | 防御力 + 60 |
| 6 | 1 | ？ | 攻击力 + 20 |
| 7 | 4 | ？ | 出去吃顿好的 |
| 8 | 1 | ？ | 防御力 + 50 |
- 当然，这个完成奖励你可以自己定，总而言之，要是对你有诱惑的奖励才是有意义的。
3、狂切水题
- 刚开始刷的 300 题一定都是 「水题」 ，刷 「水题」 的目的是让你养成一个每天刷题的习惯。久而久之，不刷题的日子会变得无比煎熬。当然，刷着刷着，你会发现，水题会越来越多，因为刷题的过程中，你已经无形中不断成长起来了。
- 至少这个方法我用过，非常灵验！推荐刷题从水题开始。
如果不知道哪里有水题，推荐：
C语言入门水题：《C语言入门100例》
C语言算法水题：《LeetCode算法全集》
4、养成习惯
- 相信如果切了 300 个 「水题」 以后，刷题自然而然就成了习惯，想放弃都难。这个专业上讲，其实叫 沉没成本。有兴趣的可以自行百度，这里就不再累述了。
5、一周出师
- 基本上如果能够按照这样的计划去执行，一周以后，一定会有收获，没有收获的话，可以来找我。
4️⃣简单数据结构的掌握
1、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
查找时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
删除时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
2、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
查找时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
删除时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
3、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)
查找时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
删除时间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)
4、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)
查找时间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)
删除时间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)
- 哈希表相关的内容，可以参考我的这篇文章：
- 夜深人静写算法（九）- 哈希表
5、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)
- 队列相关的内容，可以参考我的这篇文章：
- 夜深人静写算法（十）- 单向广搜
6、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)
- 栈相关的内容，可以参考我的这篇文章：
- 夜深人静写算法（十一）- 单调栈
7、二叉树
优先队列 是 堆实现的，所以也属于 二叉树 范畴。它和队列不同，不属于线性表。
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树 和 多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n)
删除时间复杂度：看情况而定
8、多叉树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树 和 多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n)
删除时间复杂度：看情况而定
- 一种经典的多叉树是字典树，可以参考我的这篇文章：
- 夜深人静写算法（七）- 字典树
9、森林
- 比较经典的森林是：并查集，可以参考我的这篇文章：
- 夜深人静写算法（五）- 并查集
10、树状数组
- 树状数组是用来做 单点更新，成端求和 的问题的，有关于它的内容，可以参考：
- 夜深人静写算法（十三）- 树状数组
11、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定
1、图的概念
- 在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
- 图 G G G 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E) (V,E)，其中 V V V 称为顶点集合， E E E 称为边集合， E E E 与 V V V 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
- 对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v) (u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in V u,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w) (u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in V u,v∈V， w w w 为权值，可以是任意类型。
- 图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v) (u,v) 表示的是 从顶点 u u u 到 顶点 v v v 的边，即 u → v u \to v u→v；对于无向图， ( u , v ) (u, v) (u,v) 可以理解成两条边，一条是 从顶点 u u u 到 顶点 v v v 的边，即 u → v u \to v u→v，另一条是从顶点 v v v 到 顶点 u u u 的边，即 v → u v \to u v→u；
2、图的存储
- 对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。
1）邻接矩阵
- 邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i i i 行第 j j j 列的值 表示 i → j i \to j i→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty ∞ 来表示；如果 i = j i = j i=j，则权值为 0 0 0。
- 它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
- [ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[ \begin{matrix} 0 & \infty & 3 & \infty \\ 1 & 0 & 2 & \infty \\ \infty & \infty & 0 & 3 \\ 9 & 8 & \infty & 0 \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡01∞9∞0∞8320∞∞∞30⎦⎥⎥⎤
2）邻接表
- 邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据 ( v , w ) (v, w) (v,w)，即 顶点 和 边权。
- 它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
- 如图所示， d a t a data data 即 ( v , w ) (v, w) (v,w) 二元组，代表和对应顶点 u u u 直接相连的顶点数据， w w w 代表 u → v u \to v u→v 的边权， n e x t next next 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w) (v,w) 二元组。
- 在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
3）前向星
- 前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
- 它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
- 如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w) (u,v,w) 的数组， i d x idx idx 代表数组下标。
- 那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
- 接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
- 链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i i i 都有一个链表，链表的所有数据是从 i i i 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next) (u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v) (u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to v u→v， w w w 代表边上的权值， n e x t next next 指向下一条边。
- 具体的，我们需要一个边的结构体数组
edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head[i]来指向 i i i 结点的第一条边。 - 边的结构体声明如下：
struct Edge {
int u, v, w, next;
Edge() {}
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
u(_u), v(_v), w(_w), next(_next)
{
}
}edge[maxm];
- 初始化所有的
head[i] = -1，当前边总数edgeCount = 0； - 每读入一条 u → v u \to v u→v 的边，调用
addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
void addEdge(int u, int v, int w) {
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head[u]);
head[u] = edgeCount++;
}
- 这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w) (u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1) O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
- 调用的时候只要通过
head[i]就能访问到由 i i i 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到next域为 -1 为止。
for (int e = head[u]; ~e; e = edges[e].next) {
int v = edges[e].v;
ValueType w = edges[e].w;
...
}
- 文中的
~e等价于e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
5️⃣简单算法的入门
- 入门十大算法是 线性枚举、线性迭代、简单排序、二分枚举、双指针、差分法、位运算、贪心、分治递归、简单动态规划。
- 对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
- 浓缩版可参考如下文章：《十大入门算法》
10、简单动态规划
LeetCode 746. 使用最小花费爬楼梯
数组的每个下标作为一个阶梯，第 i i i 个阶梯对应着一个非负数的体力花费值 c o s t [ i ] cost[i] cost[i]（下标从 0 开始）。每当爬上一个阶梯，都要花费对应的体力值，一旦支付了相应的体力值，就可以选择 向上爬一个阶梯 或者 爬两个阶梯。求找出达到楼层顶部的最低花费。在开始时，可以选择从下标为 0 或 1 的元素作为初始阶梯。
样例输入： c o s t = [ 1 , 99 , 1 , 1 , 1 , 99 , 1 , 1 , 99 , 1 ] cost = [1, 99, 1, 1, 1, 99, 1, 1, 99, 1] cost=[1,99,1,1,1,99,1,1,99,1]
样例输出： 6 6 6
如图所以，蓝色的代表消耗为 1 的楼梯，红色的代表消耗 99 的楼梯。
a、思路分析
- 令走到第 i i i 层的最小消耗为 f [ i ] f[i] f[i]
- 假设当前的位置在 i i i 层楼梯，那么只可能从 i − 1 i-1 i−1 层过来，或者 i − 2 i-2 i−2 层过来；
- 如果从 i − 1 i-1 i−1 层过来，则需要消耗体力值： f [ i − 1 ] + c o s t [ i − 1 ] f[i-1] + cost[i-1] f[i−1]+cost[i−1]；
- 如果从 i − 2 i-2 i−2 层过来，则需要消耗体力值： f [ i − 2 ] + c o s t [ i − 2 ] f[i-2] + cost[i-2] f[i−2]+cost[i−2]；
- 起点可以在第 0 或者 第 1 层，于是有状态转移方程：
- f [ i ] = { 0 i = 0 , 1 min ( f [ i − 1 ] + c o s t [ i − 1 ] , f [ i − 2 ] + c o s t [ i − 2 ] ) i > 1 f[i] = \begin{cases} 0 & i=0,1\\ \min ( f[i-1] + cost[i-1], f[i-2] + cost[i-2] ) & i > 1\end{cases} f[i]={0min(f[i−1]+cost[i−1],f[i−2]+cost[i−2])i=0,1i>1
b. 时间复杂度
- 状态数： O ( n ) O(n) O(n)
- 状态转移： O ( 1 ) O(1) O(1)
- 时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
c. 代码详解
class Solution {
int f[1100]; // (1)
public:
int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
f[0] = 0, f[1] = 0; // (2)
for(int i = 2; i <= cost.size(); ++i) {
f[i] = min(f[i-1] + cost[i-1], f[i-2] + cost[i-2]); // (3)
}
return f[cost.size()];
}
};
- ( 1 ) (1) (1) 用
f[i]代表到达第 i i i 层的消耗的最小体力值。 - ( 2 ) (2) (2) 初始化；
- ( 3 ) (3) (3) 状态转移；
有没有发现，这个问题和斐波那契数列很像，只不过斐波那契数列是求和，这里是求最小值。
6️⃣刷题顺序的建议
然后介绍一下刷题顺序的问题，我们刷题的时候千万不要想着一步到位，一开始，没有刷满三百题，姿态放低，都把自己当成小白来处理。
这里以刷 LeetCode 为例，我目前只刷了不到 50 题，所以我是小白。
当我是小白时，我只刷入门题，也就是下面这几个专题。先把上面所有的题目刷完，在考虑下一步要做什么。
1、入门算法
| 种类 | 链接 |
|---|---|
| 算法 | 算法入门 |
| 数据结构 | 数据结构入门 |
| 数组字符串专题 | 数组和字符串 |
| 动态规划专题 | 动态规划入门、DP路径问题 |
当入门的题刷完了，并且都能讲述出来自己刷题的过程以后，我们再来看初级的一些算法和简单的数据结构，简单的数据结构就是线性表了，包含：数组、字符串、链表、栈、队列 等等，即下面这些专题。
2、初级算法
| 种类 | 链接 |
|---|---|
| 算法 | 初级算法 |
| 栈和队列专题 | 队列 & 栈 |
上面的题刷完以后，其实已经算是基本入门了，然后就可以开始系统性的学习了。
当然，基本如果真的到了这一步，说明你的确已经爱上了刷题了，那么我们可以尝试挑战一下 LeetCode 上的一些热门题，毕竟热门题才是现在面试的主流，能够有更好的结果，这样刷题的时候也会有更加强劲的动力不是吗！
3、中级算法
| 种类 | 链接 |
|---|---|
| 算法 | 中极算法 |
| 二叉树专题 | 二叉树 |
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7️⃣系统学习算法和数据结构
1、进阶动态规划
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