自顶向下推导 LL（1）文法

理解

自顶向下文法：通过左边当前输入字符唯一确定地推导出产生式

证明LL（1）文法

证明是LL（1）文法：因为要求S的推导是唯一的，即推导后每个最左字符只有一个对应的终结符，即无二异性。

证明条件select集

证明条件：select（A）=> {X} 表示有可能的跟着的终结符。

first集

首先是求first集：first（A)=>{X} 表示一开始产生式中第一个跟着的终结符。
如上，因为产生式中直接第一个字符就是终结符，first（B）={b，d}

在例二中，S->Ap产生式第一个字符为非终结符，所以first（S）加上First（A）-{ϵ}因为如果存在A->a….（终结符）,S->A…. 能推导出 S->a…. 。
如果存在产生式S->AB 且first（A)=>{ϵ} 就要在first（S）加上first（B）。同上，如果first（A)=>{ϵ}，A可能推导为空，则第一个终结符在第二个非终结符的推导下。依次类推，可能在第三，第四…终结符下。
特殊：要令类似S->ABC的产生式，要令first（S->ABC)=>{ϵ},即S推导为空，则需要first(A,B,C)=>{ϵ} ,即推导非终结符全部为空，式子才为空。

求follow集

然后求follow集：follow（A）表示在所有产生式中 跟在A后面的终结符（#表示结尾）

求follow集原因：如果A为空，在推导自顶向下文法时可能跳过当前非终结符（如上图第三步推导），将当前推导变成推导紧跟A的字符，所以需要follow集
起始集S的follow集默认增加{#}。
如果存在一个产生式A→αB，或存在产生式A→αBβ且first（β）包含ε，那么follow（A）中的所有符号都在follow（B）中。因为A出现的地方都可转化为aB。例如C->Aa;此时A的FOLLOW(A)中有a。此时将A->cB转化，就是C->cBa，A跟着的字符B也跟着

求select集

当某非终结符A的first集不包含ϵ，即不可能为空，select（A）=first（A），反之A的first集包含ϵ，first可能为空，则其跟着的终结符可能为A后面跟着的终结符follow集，select（A）=first（A)-{ϵ}+follow(A)。

判断LL（1）文法

能使用自顶向下文法，即是LL（1）文法，即能通过最左的字符推导，而且推导不出第二个结果（无二异性）则同左步的产生式不会有共同生成最左终结符：