图像去噪-NL Means，BM3D与DCT

基础

ShaneHolmes的图像处理专栏：图像各种噪声及消除方法 中记录了噪声来源、分类和处理噪声的基本方法
高斯白噪声：加性噪声的理想模型，通信系统中的热噪声统计上符合高斯白噪声。

非局部均值去噪（NL-means）

基本思想：像素的估计值$\hat{u}$由与之具有相似邻域结构的像素加权平均得到。其权重$w(p,q)$等于两点的相似度。这个邻域$(2r+1)\times (2r+1)$也称为搜索区域。
$${\hat{u}}_i(p)=\frac{1}{C(p)}\sum _{q\in B(p,r)}{u}_i(q)w(p,q)$$
$$C(p)=\sum _{q\in B(p,r)}w(p,q)$$
衡量相似度的方法有非常多，文章中给出的是两个像素的亮度值的差的平方。
$$d^2(B(p,f),B(q,f)=\frac{1}{3(2f+1{)}^2}\sum _{i=1}^3\sum _{j\in B(0,f)}(u_i(p+j)-u_i(q+j){)}^2$$
降低噪声影响，我们考虑两个像素的邻域$(2f+1)\times (2f+1)$，只有邻域相似度高，才能说明这两个像素相似度高。
$$w(p,q)=e^{-\frac{max(d^2-2{\sigma }^2,0.0)}{h^2}}$$
$h$是滤波系数，控制指数函数衰减从而改变欧氏距离的权重。

如上图所示，$p$为去噪的点，因为$q1$和$q2$的邻域与$p$相似，所以权重和比较大，而邻域相差比较大的点$q3$的权重值很小。

参考资料：
xiaoluo91 非局部均值去噪（NL-means）：含python代码
图像去噪算法：NL-Means和BM3D（转载+个人笔记）
最经典最新的图像去噪算法

论文：

1. Antoni Buades, Bartomeu Coll, and Jean-Michel Morel, Non-Local Means Denoising, Image Processing On Line, 1 >(2011). http://dx.doi.org/10.5201/ipol.2011.bcm_nlm
2. Jacques Froment, Parameter-Free Fast Pixelwise Non-Local Means Denoising, Image Processing On Line, 4 (2014), pp. 300–326. http://dx.doi.org/10.5201/ipol.2014.120

NL-means加速算法

构造积分图像：
$$S_t(x)=\sum _{z_1\le x_1,z_1\le x_2}{s}_t(z),x=(x_1,x_2)$$
其中，$s_t(z)={\sum }_{i=1}^3{\sum }_{j\in B(0,f)}(u_i(p+j)-u_i(q+j){)}^2$。
则，计算$x$与$y=x+t$间的距离：
$$d^2(B(x,f),B(y,f))=\frac{1}{3(2f+1{)}^2}\sum _{i=1}^3\sum _{j\in B(0,f)}(u_i(p+j)-u_i(q+j){)}^2$$
参考资料：
积分图像的应用（二）：非局部均值去噪（NL-means）
论文：Jacques Froment, Parameter-Free Fast Pixelwise Non-Local Means Denoising, Image Processing On Line, 4 (2014), pp. 300–326. http://dx.doi.org/10.5201/ipol.2014.120

BM3D 3维块匹配滤波 去噪算法

图像去噪算法大致可以分为：空域方法（spatial method) 利用图片中不同位置的相似信息进行去噪，例如上面的NL-means和NL-Bayes；变换域方法（transform method），转换到其他空间，如频域，在利用对有效信号与噪声的特性进行降噪，例如小波萎缩法。BM3D算法综合了NLM和小波萎缩两种算法，利用了NLM的块之间相关性（inter-patch correlation）和小波萎缩法的块内相关性（intra-patch correclation），是当前行之有效的去噪算法。

BM3D算法流程如上，分为两大步：Step 1 基础估计；Step 2 最终估计。
每个步骤中分为三小步：相似块分组（Grouping），协同滤波（Collaborative Filtering）和聚合（Aggregation）。Step 1中用Hard-thresholding进行协同滤波，Step 2中用维纳滤波方法进行协同滤波。

在资料最经典最新的图像去噪算法中，博文论述的每一步的具体步骤。下文会进行转载与加工。

协同滤波

协同取自字面意思，就是说同组内的$n$个块以某种合作的方式来滤波。假设每一个块都有独立的二维变换，$n$个块的总有效变换系数为$\alpha n$；然而我们的这一组块取的是相似度高的一些块，这样会有很多冗余信息。所以，作者提出对整租进行三维变换（即对二维变换后的所有块再进行一个一维变换），其有效变换系数近似于$\alpha$。

两个小块之间的相似度匹配

参考资料：
BM3D图像去噪算法
最经典最新的图像去噪算法

论文：

1. K. Dabov, A. Foi, V. Katkovnik, and K. Egiazarian, “Image denoising by sparse 3D transform-domain collaborative filtering,” IEEE Trans. Image Process., vol. 16, no. 8, pp. 2080-2095, August 2007.
2. K. Dabov, A. Foi, V. Katkovnik, and K. Egiazarian, “Image denoising with block-matching and 3D filtering,” Proc. SPIE Electronic Imaging '06, no. 6064A-30, San Jose, California, USA, January 2006.
3. http://www.cs.tut.fi/~foi/GCF-BM3D/
4. Marc Lebrun, An Analysis and Implementation of the BM3D Image Denoising Method, Image Processing On Line, 2 (2012), pp. 175–213.

Randomized Redundant DCT

前面两种算法感觉都有点慢，这篇文章作者给出的算法确实效率很高，但还是达不到笔者想要的效果。最终还是回归深度学习。
文章主页：Randomized Redundant DCT: Efficient Denoising by Using Random Subsampling of DCT Patches
Code: git