【十二届蓝桥杯国赛真题】123 --- 时间复杂度O(1)的纯数学解法

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写在前面

Hello大家好我是秋刀鱼，今天又来给大家带来蓝桥杯真题题解了。

今天做的题中唯独这道题蛮有难度，前前后后花费了我将近一个半小时的时间才彻底悟透。我看了很多大佬的题解都是使用二分的方法来做，但在这里我给大家带来一个数学解法，时间、空间复杂度$O(1)$。

因为本题较难所以本篇幅较长，希望你能耐心看完。

题目链接

小蓝发现了一个有趣的数列，这个数列的前几项如下：
1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, …
小蓝发现，这个数列前 1 项是整数 1，接下来 2 项是整数 1 至 2，接下来3 项是整数 1 至 3，接下来 4 项是整数 1 至 4，依次类推。
小蓝想知道，这个数列中，连续一段的和是多少？

输入格式
输入的第一行包含一个整数 T，表示询问的个数。
接下来 T 行，每行包含一组询问，其中第 i 行包含两个整数 li 和 ri，表示询问数列中第 li 个数到第 ri 个数的和。
输出格式
输出 T 行，每行包含一个整数表示对应询问的答案。
样例输入
3
1 1
1 3
5 8
样例输出
1
4
8

评测用例规模与约定
对于 10% 的评测用例， 1 ≤ T ≤ 30, 1 ≤ li ≤ ri ≤ 100。
对于 20% 的评测用例， 1 ≤ T ≤ 100, 1 ≤ li ≤ ri ≤ 1000。
对于 40% 的评测用例， 1 ≤ T ≤ 1000, 1 ≤ li ≤ ri ≤ 10 ^ 6。
对于 70% 的评测用例， 1 ≤ T ≤ 10000, 1 ≤ li ≤ ri ≤ 10 ^ 9。
对于 80% 的评测用例， 1 ≤ T ≤ 1000, 1 ≤ li ≤ ri ≤ 10 ^ 12。
对于 90% 的评测用例， 1 ≤ T ≤ 10000, 1 ≤ li ≤ ri ≤ 10 ^ 12。
对于所有评测用例， 1 ≤ T ≤ 100000, 1 ≤ li ≤ ri ≤ 10 ^ 12。

解题思路

开始之前需要了解的数学公式：

• 等差数列求和公式：$S=(a_1+a_n)\ast n/2$ ，其中 $a_1$ 为等差数列首项， $a_n$ 为等差数列末尾项， $n$ 为求和项数量。
• 从1开始的平方求和公式 ${\sum }_1^n{i}^2=n\ast (n+1)\ast (2\ast n+1)/6$

现在开始我们的思路：

我把连续递增的一串数字定义为一组，按照依次的顺序为组附上编号，编号从1开始。例如：

题目中会给定第$l,r$个数字，可以通过一定的方法分别获得 $l,r$ 所对应的组与组中具体的位置。那么如何确定任意一个数字的组号与组内位置呢？如果能够获得具体位置，就能够根据组的位置获得组之间数字数量，因此这是解题的关键。

不难发现，第 $i$ 组所拥有的数字个数为 $i$ ，每一组提供的数字数量比上一组数量多一个，所以是一个等差数列。因此数字$l,r$对应的组能够通过等差数列求和公式得到。假设所在的组为$n$，根据公式：$n\ast (n+1)/2=l$ 获得 n 的值，但是这样求得组号是从0开始的，因此还需要加一才能获得真正的组号group。

既然获得了组，再根据等差数列求和公式就能获得其在组中的位置number，下面是具体实现的代码：

#define pii pair 
...
    
// 返回组号与组中位置
pii get(ll pos) {
	double tmp = sqrt(pos * 2) - 0.5;
	ll group = (ll)tmp + 1;
	ll number = pos - (group * (group - 1)) / 2;
	return { group,number };
}

现在获得了两个 (组,编号) 位置，那么我们怎么获得组与组之间，有多少个数字呢？先看看下面这张图：

定义如图中所示。

为了获得 $[l,r]$ 数字之和，我们可以将问题简化为求：红方框中数字总和 - $l$ 本组的左侧数字总和(蓝色部分) + $r$ 本组的左侧数字总和(黄色部分）。

对于后面两个"左侧数字总和"很容易就能得出，因为每一组的值都是一个从1开始的单调递增数列，使用数列的求和公式能够快速得到。定义数列求和函数：

// 等差数列求和
// a1: 第一项的值
// an: 第n项的值
// n: 求和项的个数
ll sum(ll a1, ll an, ll n) {
	return n * (a1 + an) / 2;
}

定义第 $i$ 组数的数字总和为 $su{m}_i$ ，那么现在问题转换为：求 $su{m}_{g1}+su{m}_{g1+1}+....+su{m}_{g2-1}$ 的值，换句话说就是求：编号范围$[g_1,g_2-1]$ 组所有数字之和。

那么我们假设 $g_1$ 组的数字和为 $A$，假设 $g_1$组最后一个数字为B ，那么就有如下：

为了获取以上所有数的值，我们可以使用分割的思想，先单纯计算图中 A、B 的值。

定义$g_2-g_1$ 的值为 $n$，$n-1$ 的值为 m 。

可以看到：A与B 的分布是一个等差数列，首项是 $A$ ，末尾项是 $A+(N\ast B)$ ，求和项的个数为 $N+1$ ，因此我们能够通过等差数列求和公式先计算出所有 $A、B$ 的值。计算完 $A、B$ 的值之后继续计算剩余值：

最终通过等差数列求和与平方和公式得到剩下的值。

AC代码

#include 
#include 
#define pii pair 
#define ll long long
using namespace std;
// 等差数列求和
ll sum(ll a1, ll an, ll n) {
    return n * (a1 + an) / 2;
}
// 求和
ll getGap(ll l, ll r) {
    ll ret = 0;
    ll n = r - l;
    ll m = n - 1;
    ll a1 = sum(1, l, l);
    ll an = a1 + m * l;
    // 单纯计算A的总值
    ret += sum(a1, an, n);
    
    // 需要计算剩余值，使用平方和公式与等差数列求和
    if (n >= 2) {
        ret += sum(1, m, m) * (m + 1) - m * (m + 1) * (2 * m + 1) / 6;
    }
    return ret;
}
// 获取组号与具体位置
pii get(ll pos) {
    double tmp = sqrt(pos * 2) - 0.5;
    ll group = (ll)tmp + 1;
    ll number = pos - (group * (group - 1)) / 2;
    return { group,number };
}

int main()
{
    ll n;
    cin.tie();
    cin >> n;
    while (n--) {
        ll l, r;
        cin >> l >> r;
        pii left = get(l);
        pii right = get(r);
        
        cout << getGap(left.first, right.first) + sum(1,right.second,right.second) - sum(1,left.second-1,left.second - 1) << endl;
    }
    return 0;
}

写在最后

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