量化分析师的Python日记【Q Quant兵器谱之函数插值】
在本篇中，我们将介绍Q宽客常用工具之一：函数插值。接着将函数插值应用于一个实际的金融建模场景中：波动率曲面构造。
通过本篇的学习您将学习到：
- 如何在
scipy中使用函数插值模块：interpolate； - 波动率曲面构造的原理；
- 将
interpolate运用于波动率曲面构造。
1. 如何使用scipy做函数插值
函数插值，即在离散数据的基础上补插连续函数，估算出函数在其他点处的近似值的方法。在scipy中，所有的与函数插值相关的功能都在scipy.interpolate模块中
from scipy import interpolate
dir(interpolate)[:5]
['Akima1DInterpolator',
'BPoly',
'BarycentricInterpolator',
'BivariateSpline',
'CloughTocher2DInterpolator'] 作为介绍性质的本篇，我们将只关注interpolate.spline的使用，即样条插值方法：
xk离散的自变量值，为序列yk对应xk的函数值，为与xk长度相同的序列xnew需要进行插值的自变量值序列order样条插值使用的函数基德阶数，为1时使用线性函数
Interpolate a curve at new points using a spline fit
Parameters
----------
xk, yk : array_like
The x and y values that define the curve.
xnew : array_like
The x values where spline should estimate the y values.
order : int
Default is 3.
kind : string
One of {'smoothest'}
conds : Don't know
Don't know
Returns
-------
spline : ndarray
An array of y values; the spline evaluated at the positions `xnew`. 1.1 三角函数（np.sin）插值
一例胜千言！让我们这里用实际的一个示例，来说明如何在scipy中使用函数插值。这里的目标函数是三角函数：
f(x)=sin(x)
假设我们已经观测到的 f(x) 在离散点 x=(1,3,5,7,9,11,13) 的值：
1.1 三角函数（np.sin）插值
一例胜千言！让我们这里用实际的一个示例，来说明如何在scipy中使用函数插值。这里的目标函数是三角函数：
f(x)=sin(x)
假设我们已经观测到的f(x)在离散点x=(1,3,5,7,9,11,13)的值：
首先我们使用最简单的线性插值算法，这里面只要将
spline 的参数 order 设置为1即可：
xnew = np.linspace(1.0,13.0,500)
ynewLinear = interpolate.spline(x,y,xnew,order = 1)
ynewLinear[:5]array([ 0.84147098, 0.83304993, 0.82462888, 0.81620782, 0.80778677])最后我们获得真实的 sin(x) 的值：
ynewReal = np.sin(xnew)
ynewReal[:5]让我们把所有的函数画到一起，看一下插值的效果。对于我们这个例子中的目标函数而言，由于本身目标函数是光滑函数，则越高阶的样条插值的方法，插值效果越好。
pylab.figure(figsize = (16,8))
pylab.plot(xnew,ynewReal)
pylab.plot(xnew,ynewLinear)
pylab.plot(xnew,ynewCubicSpline)
pylab.scatter(x,y, s = 160, marker='x', color = 'k')
pylab.legend([u'真实曲线', u'线性插值', u'样条插值', u'$f(x)$离散点'], prop = font)
pylab.title(u'$f(x)$不同插值方法拟合效果：线性插值 v.s 样条插值', fontproperties = font)
2. 函数插值应用 —— 期权波动率曲面构造
市场上期权价格一般以隐含波动率的形式报出，一般来讲在市场交易时间，交易员可以看到类似的波动率矩阵（Volatilitie Matrix):
import pandas as pd
pd.options.display.float_format = '{:,>.2f}'.format
dates = [Date(2015,3,25), Date(2015,4,25), Date(2015,6,25), Date(2015,9,25)]
strikes = [2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6]
blackVolMatrix = np.array([[ 0.32562851, 0.29746885, 0.29260648, 0.27679993],
[ 0.28841840, 0.29196629, 0.27385023, 0.26511898],
[ 0.27659511, 0.27350773, 0.25887604, 0.25283775],
[ 0.26969754, 0.25565971, 0.25803327, 0.25407669],
[ 0.27773032, 0.24823248, 0.27340796, 0.24814975]])
table = pd.DataFrame(blackVolMatrix * 100, index = strikes, columns = dates, )
table.index.name = u'行权价'
table.columns.name = u'到期时间'
print u'2015年3月3日10时波动率矩阵'
table
交易员可以看到市场上离散值的信息，但是如果可以获得一些隐含的信息更好：例如，在2015年6月25日以及2015年9月25日之间，波动率的形状会是怎么样的？
2.1 方差曲面插值
我们并不是直接在波动率上进行插值，而是在方差矩阵上面进行插值。方差和波动率的关系如下：
Var(K,T)=σ(K,T)2T
所以下面我们将通过处理，获取方差矩阵（Variance Matrix):
evaluationDate = Date(2015,3,3)
ttm = np.array([(d - evaluationDate) / 365.0 for d in dates])
varianceMatrix = (blackVolMatrix**2) * ttm
varianceMatrixarray([[ 0.00639109, 0.0128489 , 0.02674114, 0.04324205],
[ 0.0050139 , 0.01237794, 0.02342277, 0.03966943],
[ 0.00461125, 0.01086231, 0.02093128, 0.03607931],
[ 0.00438413, 0.0094909 , 0.02079521, 0.03643376],
[ 0.00464918, 0.00894747, 0.02334717, 0.03475378]]) 这里的值varianceMatrix就是变换而得的方差矩阵。
下面我们将在行权价方向以及时间方向同时进行线性插值，具体地，行权价方向：
Var(K,t)=K2−KK2−K1Var(K1,t)+K−K1K2−K1Var(K2,t)
时间方向：
Var(K)=t2−tt2−t1Var(K,t1)+t−t1t2−t1Var(K,t2)
这个过程在scipy中可以直接通过interpolate模块下interp2d来实现：
ttm时间方向离散点strikes行权价方向离散点varianceMatrix方差矩阵，列对应时间维度；行对应行权价维度kind = 'linear'指示插值以线性方式进行
array([ 0.00639109])
最后我们获取整个平面上所有点的方差值，再转换为波动率曲面。
sMeshes = np.linspace(strikes[0], strikes[-1], 400)
tMeshes = np.linspace(ttm[0], ttm[-1], 200)
interpolatedVarianceSurface = np.zeros((len(sMeshes), len(tMeshes)))
for i, s in enumerate(sMeshes):
for j, t in enumerate(tMeshes):
interpolatedVarianceSurface[i][j] = interp(t,s)
interpolatedVolatilitySurface = np.sqrt((interpolatedVarianceSurface / tMeshes))
print u'行权价方向网格数：', np.size(interpolatedVolatilitySurface, 0)
print u'到期时间方向网格数：', np.size(interpolatedVolatilitySurface, 1)
行权价方向网格数：
400 到期时间方向网格数： 200
选取某一个到期时间上的波动率点，看一下插值的效果。这里我们选择到期时间最近的点：2015年3月25日：
pylab.figure(figsize = (16,8))
pylab.plot(sMeshes, interpolatedVolatilitySurface[:, 0])
pylab.scatter(x = strikes, y = blackVolMatrix[:,0], s = 160,marker = 'x', color = 'r')
pylab.legend([u'波动率（线性插值）', u'波动率（离散）'], prop = font)
pylab.title(u'到期时间为2015年3月25日期权波动率', fontproperties = font)
最终，我们把整个曲面的图像画出来看看：
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cm
maturityMesher, strikeMesher = np.meshgrid(tMeshes, sMeshes)
pylab.figure(figsize = (16,9))
ax = pylab.gca(projection = '3d')
surface = ax.plot_surface(strikeMesher, maturityMesher, interpolatedVolatilitySurface*100, cmap = cm.jet)
pylab.colorbar(surface,shrink=0.75)
pylab.title(u'2015年3月3日10时波动率曲面', fontproperties = font)
pylab.xlabel("strike")
pylab.ylabel("maturity")
ax.set_zlabel(r"volatility(%)")
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