⭐算法入门⭐《前缀和》中等02 —— LeetCode 974. 和可被 K 整除的子数组

一、题目

1、题目描述

  给定一个整数数组 A，返回其中元素之和可被 K 整除的（连续、非空）子数组的数目。
  样例输入： A = [4,5,0,-2,-3,1], K = 5
  样例输出： 7

2、基础框架

• C语言 版本给出的基础框架代码如下：

int subarraysDivByK(int* nums, int numsSize, int k){
}

3、原题链接

LeetCode 974. 和可被 K 整除的子数组

二、解题报告

1、思路分析

1）初始化前缀和

  首先，一遍线性枚举，计算前缀和 $sum[i]={\sum }_{j=0}^{i}nums[i]$。
  然后，对于某个非空子数组nums[i:j]，如果它能够被 $k$ 整除，则必然有：
$$(sum[j]-sum[i-1])modk==0$$  即对于每个 $(0\le i\le j<n)$， 满足 $$sum[i-1]modk==sum[j]modk$$

2）哈希表统计

  利用一个哈希表 $h$，初始情况插入一个 $sum[-1]$，也就是 0；
  然后遍历 $i=0\to n-1$，询问 哈希表中 $sum[i]$ 的值累加到结果 $ans$ 中，并且将 $sum[i]$ 继续插入哈希表。结果返回 $ans$ 即可。

2、时间复杂度

• 前缀和初始化，只需要一次遍历，时间复杂度为 $O(n)$。
• 哈希统计过程，只需要遍历一遍数组，也是 $O(n)$。

3、代码详解

#define maxn 30003
int sum[maxn], h[maxn];

int subarraysDivByK(int* nums, int numsSize, int k){
    int i;
    int ans = 0;
    for(i = 0; i < numsSize; ++i) {
        sum[i] = nums[i] % k;
        if(i) {
            sum[i] = (sum[i] + sum[i-1]) % k;   // (1) 
        }
        if(sum[i] < 0) {
            sum[i] += k;                        // (2) 
        }
    }
    memset(h, 0, sizeof(h));
    h[0] = 1;                                   // (3)
    for(i = 0; i < numsSize; ++i) {
        ans += h[ sum[i] ];                     // (4)
        ++h[ sum[i] ];                          // (5)
    }
    return ans;
}

• $(1)$ 计算前缀和模 $k$；
• $(2)$ 确保每个sum[i]都是大于等于 $0$ 的；
• $(3)$ 初始化哈希表，并且插入第一个元素 $sum[-1]$；
• $(4)$ 累加哈希表中 $sum[i]$ 的值；
• $(5)$ 将 $sum[i]$ 插入到哈希表；

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三、本题小知识

前缀和的问题，一般是先初始化前缀和，然后再进行一次线性枚举，通过 $O(1)$ 的时间取前缀和的结果。

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