机器学习之线性回归（包含代码案例）

大家好，今天给大家带来的是机器学习中比较简单的线性回归，如文章有不妥之处还望指出。

一、线性回归简介

线性回归在数学上的表现可以是：y = wx + b、y = w1x1 + w2x2 + b、

y = w1x1 + w2x2 + w3x3+b.........。总结来说，它是一种研究自变量和因变量的关系，是指一种预测性的建模技术。而自变量和因变量的关系简单来说就是要你求出上述公式里的参数w1、w2、w3、b等，所以我们线性回归算法的主要任务就是为了求出参数w1、w2、w3、b等。

二、线性回归的步骤

（这里的一、二步大家可能一开始看不太懂，没关系，我们后面会详细讲解，到时候再会看就明白了）

1.假设目标值（因变量y）与特征值（自变量x）之间线性关系（即满足一个多元一次方程，如：f(x)=w1x1+…+wnxn+b.）。

2.构建损失函数

3.通过损失函数的最小值，最后确定参数（最重要的一步）

三、损失函数

我们在这里假设我目标值和特征值的线性关系为：y = wx + b。

有n组数据，目标值分别是（x）：x1、x2、x3......xn。以及它们对应的特征值（y）：y1、y2、y3......yn。根据我上述所说线性回归的主要任务是求出参数w、b，所以我们要怎么求出它呢？？？我们首先给w、b假设一个值，分别为2，1吧（随便假设）。所以我们就预测了一个模型y = 2x + 1，但这只是一个模型，它肯定是不准确的，我们用这个假设预测出的y值减去它真实的特征值（y1、y2....），它们之间就会有一个误差，我们将这每个数据的误差加起来，就可以得出一个总的误差，但这总的误差肯定也不准确，为什么这么说呢？ 你看如果 （2 * x1 + 1）- y1 是一个负数，而（2 * x2 + 1）-  y2是一个正数，那么它们相加起来误差反而会减小。所以我们为了避免出现这样的情况，我们就对每一组数据的误差求一个平方，这样加起来的就都是正数了，就可以反应出我们这个假设的模型对于真实数据的误差。我们管这种误差叫均方误差。用公式表示如下： 

                                                                                    这个公式我们就是我要和大家说的损失函数（只是上述线性关系的损失函数啊，其它线性关系的损失函数以此类推）。那么我们知道损失函数或者说误差越小，我们的模型就越接近真实的特征值，那我们如何使它变小呢？？？那就得用上我们的梯度下降法了。（当然也可以用最小二乘法或者正规方程来减小损失函数，但在这里我只说明一下最通用的梯度下降法）

四、梯度下降法

我们还是以上面的线性关系：y = wx + b为例。我们得到了一个损失函数J(w,b)，而它很明显是一个二次函数，我们现在要想让它的值变小，甚至是想求出它的最小值，按照我们常规求二次函数的最小值的方法，我们是不是该对它求导啊，而事实也是如此，我们分别对损失函数J(w,b)的两个参数w，b求偏导(注意，这里是对w，b求导，而不是对x求偏导)，可以得到：

那是不是我们将这个偏导等于0，求出w值就可以了呢？？肯定不行啊，因为你的参数b本身就不和理，那该怎么求呢？？

对于损失函数图像可以看到（二次函数图像）：

 如果我们一开始设的w值在最小值的右边，那我们尽量要往左边靠，就相当于要减去一个数，如果一开始设的w值在左边的话，那就要往右边靠，那有没有一个算式可以解决这个问题呢？？？

 

我们可以看到这个公式（先不看，先把它看作任何正数），当我设的值是w2的时候，那么它的偏导是不是个正数啊，那么我w2减去一个正数是不是就往最小值靠近了啊，同样，当我设的值是w1的时候，那么它的偏导不就是个负数吗，我w1减去一个负数，不就是加了一个正数吗，那我就向最小值靠近了一步。

公式里的指的是学习率。它的作用是为了控制你往最小值靠近的“步子”的大小，如果它很大的话，那你的“步子”就大了啊，有可能就会“跨过”最小值，太小的话，又会需要“跨”很多的“步子”，所以它的设置得根据你的需要来。

参数b同上：

但注意它的偏导跟w的偏导略有不同，后面没有乘以自变量，初学者有可能会大意乘上自变量：

 

面对有多个参数(w1,w2,w3......wn,b)以此类推，推出损失函数最小的时候，它们对应的值就可以了。

五、代码实战（为了便于理解，我将所有的注释都放到了代码里）

#还是以y = wx + b为例
import matplotlib.pyplot as plt

x = [14.1,15.1,16.1,15.3,14.2,14.5,14.6,14.8,16.3,16.6,15.6,16.7,14.7,16.2,16.7,14.8,14.9,15.9,16.3,17.0,15.0,16.3,17.1,16.0,17.2,17.4,15.5,16.8,17.4,16.9]
y = [15.8,16.3,14.5,16.6,16.7,15.0,14.9,15.2,15.3,16.6,17.0,16.4,16.5,15.4,15.8,14.8,16.0,17.3,15.7,14.4,15.8,16.7,14.9,16.9,15.5,16.6,17.7,18.0,15.9,18.0]
#这里是我随便创造的数据，一共30个

#这里我将数据分为了训练集和测试集
x_train = x[0:20]
y_train = y[0:20]

x_test = x[20:]
y_test = y[20:]

#给参数w和b的初始值分别为1.0和-1.0，以及学习率为0.0001，求10000次参数
w_start = 1.0
b_start = -1.0
learn = 0.0001
times = 10000

for i in range(times):
    sum_w = 0
    sum_b = 0
    
    #这里就是我们的梯度下降法，通过它，使我们的损失函数变小，求出我们要的新参数w和b
    for i in range(len(x_train)):
        sum_w += (y_train[i] - w_start * x_train[i]) * (-x_train[i])
        sum_b += (y_train[i] - b_start * x_train[i]) * (-1)
    
    w_start = w_start - 2 * sum_w * learn
    b_start = b_start - 2 * sum_b * learn

plt.figure(figsize=(20,8))#改变图片大小
plt.scatter(x_train, y_train)#画出我们训练集的散点图
plt.plot([i for i in range(0,20)],[(w_start * i + b_start) for i in range(0,20)])#画出我们通过梯度下降法求出来的新的参数w，b的y = wx + b的直线图
plt.show()

#下面这里是为了检测我得出的线性回归模型理想程度

#这是测试集的所有真实数据与我模型（y=wx+b）相减得出来的误差值
total_train_loss = 0
for i in range(len(x_train)):
    y_hat = w_start * x_train[i] + b_start
    total_train_loss += (y_train[i] - y_hat) ** 2
print(total_train_loss)

#这是训练集的所有真实数据与我模型（y=wx+b）相减得出来的误差值
total_test_loss = 0
for i in range(len(x_test)):
    y_hat = w_start * x_test[i] + b_start
    total_test_loss += (y_test[i] - y_hat) ** 2
print(total_test_loss)

#这样一看，感觉这个模型很不理想啊.......但没关系，这个代码主要是为了让大家更好的了解线性回归