旋转矩阵与欧拉角的相互转换

1. 概述

欧拉角与旋转矩阵的相互转换，是图形计算中的常见问题。

2. 详论

2.1. 欧拉角的理解

表达旋转变换最简单的理解是三种旋转矩阵（绕X轴旋转矩阵，绕Y轴旋转矩阵以及绕Z轴旋转矩阵）级联。而欧拉角同样也有三种：航向角heading，俯仰角pitch和滚转角roll；其中，航向角heading有时也被称为偏航角yaw。三个欧拉角定义的矩阵级联也可以定义成旋转矩阵，这种旋转变换也叫做欧拉变换。

两者并没有绝对的对应的关系，但是绝大部分情况下，我们可以确定一个默认的视图方向：朝向负z轴，头部沿y轴定向，如下图所示：

想象一个飞机也位于上图的坐标系的默认视图，那么很显然可以看出一个对应关系：

• 航向角heading为绕Y轴旋转
• 俯仰角pitch为绕X轴旋转
• 滚转角roll为绕Z轴旋转

2.2. 欧拉角转旋转矩阵

如上节所述，确定欧拉角到底是绕哪一个轴旋转的关键是确定默认的视图方向。另一个需要确定的因素就是旋转的顺序。由于矩阵的乘法不满足交换律，那么矩阵级联的顺序不同，得到的旋转矩阵也不同。一种比较常用的旋转顺序是：

\[{\textbf{E}}(h,p,r) = {\textbf{R}}_z(r){\textbf{R}}_x (p){\textbf{R}}_y(h) \]

我们使用GLM（OpenGL Mathematics）库进行验证一下：

#include 
#include 

using namespace std;

static void PrintMat(const glm::mat4& m)
{
	for (int i = 0; i < 4; i++)
	{
		for (int j = 0; j < 4; j++)
		{
			printf("%.9lf\t", m[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
}

int main()
{
	glm::mat4 rotY = glm::eulerAngleY(glm::radians(24.0f));
	glm::mat4 rotX = glm::eulerAngleX(glm::radians(65.0f));
	glm::mat4 rotZ = glm::eulerAngleZ(glm::radians(42.0f));

	glm::mat4 rotYXZ = rotY * rotX * rotZ;
	PrintMat(rotYXZ);
	cout << endl;

	glm::mat4 rotYXZ1 = glm::eulerAngleYXZ(glm::radians(24.0f), glm::radians(65.0f), glm::radians(42.0f));
	PrintMat(rotYXZ1);
	cout << endl;

	glm::mat4 rotYXZ2 = glm::yawPitchRoll(glm::radians(24.0f), glm::radians(65.0f), glm::radians(42.0f));
	PrintMat(rotYXZ2);
}

运行结果如下：

直接使用欧拉角旋转矩阵相乘，与eulerAngleYXZ()函数，以及yawPitchRoll()函数三者的矩阵结果是一致的。说明在GLM中欧拉角的定义以及旋转顺序，与本文论述的一致。

2.3. 旋转矩阵转欧拉角

已知绕X轴、Y轴以及Z轴旋转矩阵的公式以及它们的旋转顺序，可以很容易倒推旋转矩阵表达的欧拉角。当然也没有那么容易，因为有一些特殊情况必须处理。那么还是通过GLM进行实现：

#include 
#include 

using namespace std;

static void PrintMat(const glm::mat4& m)
{
	for (int i = 0; i < 4; i++)
	{
		for (int j = 0; j < 4; j++)
		{
			printf("%.9lf\t", m[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
}

int main()
{
	glm::mat4 rotY = glm::eulerAngleY(glm::radians(24.0f));
	glm::mat4 rotX = glm::eulerAngleX(glm::radians(65.0f));
	glm::mat4 rotZ = glm::eulerAngleZ(glm::radians(42.0f));
		
	glm::mat4 rotYXZ1 = glm::eulerAngleYXZ(glm::radians(24.0f), glm::radians(65.0f), glm::radians(42.0f));
	PrintMat(rotYXZ1);
	cout << endl;

	float y = 0, x = 0, z = 0;
	glm::extractEulerAngleYXZ(rotYXZ1, y, x, z);
	cout << glm::degrees(y) << '\t' << glm::degrees(x) << '\t' << glm::degrees(z);
}

运行结果如下：

由欧拉角参数生成的eulerAngleYXZ()与extractEulerAngleYXZ()提取的欧拉角一致。说明GLM的实现是正确的，一般的图形矩阵计算库应该都有类似的接口。