定义
在一幅无向图G=(V,E) 中,(u,v) 为连接顶点u和顶点v的边,w(u,v)为边的权重,若存在边的子集T⊆E且(V,T) 为树,使得
最小,这称 T 为图 G 的最小生成树。
说的通俗点,最小生成树就是带权无向图中权值和最小的树。下图中黑色边所标识的就是一棵最小生成树(图片来自《算法第四版》),对于权值各不相同的连通图来说最小生成树只会有一棵:
带权图的实现
在 《如何在 Java 中实现无向图》 中我们使用邻接表数组实现了无向图,其中邻接表上的每个节点的数据域只是一个整数,代表着一个顶点。为了方便最小生成树的迭代,我们将数据域换成 Edge
实例。Edge
有三个成员:顶点 v
、顶点 w
和权重 weight
,为了比较每一条边的权重,需要实现 Comparable
接口。代码如下所示:
package com.zhiyiyo.graph; /** * 图中的边 */ public class Edge implements Comparable{ private final int v, w; private final double weight; public Edge(int v, int w, double weight) { this.v = v; this.w = w; this.weight = weight; } /** * 返回边中的一个顶点 */ int either() { return v; } /** * 返回边中的拎一个顶点 * * @param v 顶点 v * @return 另一个顶点 */ int another(int v) { if (this.v == v) { return w; } else if (w == v) { return this.v; } else { throw new RuntimeException("边中不存在该顶点"); } } public double getWeight() { return weight; } @Override public String toString() { return String.format("Edge{%d-%d %f}", v, w, weight); } @Override public int compareTo(Edge edge) { return Double.compare(weight, edge.weight); } }
之后只要照猫画虎,将 LinkGraph
的泛型从 Integer
换成 Edge
就行了:
package com.zhiyiyo.graph; import com.zhiyiyo.collection.stack.LinkStack; import com.zhiyiyo.collection.stack.Stack; /** * 带权无向图 */ public class WeightedGraph { private final int V; protected int E; protected LinkStack[] adj; public WeightedGraph(int V) { this.V = V; adj = (LinkStack []) new LinkStack[V]; for (int i = 0; i < V; i++) { adj[i] = new LinkStack<>(); } } public int V() { return V; } public int E() { return E; } public void addEdge(Edge edge) { int v = edge.either(); int w = edge.another(v); adj[v].push(edge); adj[w].push(edge); E++; } public Iterable adj(int v) { return adj[v]; } /** * 获取所有边 */ public Iterable edges() { Stack edges = new LinkStack<>(); for (int v = 0; v < V; ++v) { for (Edge edge : adj(v)) { if (edge.another(v) > v) { edges.push(edge); } } } return edges; } }
同时给出最小生成树的 API:
package com.zhiyiyo.graph; /** * 最小生成树 */ public interface MST { /** * 获取最小生成树中的所有边 */ Iterableedges(); /** * 获取最小生成树的权重 */ double weight(); }
Kruskal 算法
假设 E 是图 G 中所有边的集合,T 是最小生成树的边集合,kruskal 算法的思想是每次从 E 中弹出权值最小的边 em,如果 em 不会和 T 中的边构成环,就将其加入 T 中,直到 |T|=|V|−1 也就是 TT 中边的个数是图 G 的顶点个数 -1 时,就得到了最小生成树。
对于上一幅图,使用 kruskal 算法得到最小生成树的过程如下图所示:
首先将 E 中最小的边 0-7 弹出并加到 T 中,此时的 EE 中最小边为 2-3,虽然 2-3 和 0-7 无法构成连通图,但是没关系,只要贪心地将其加入 T 中即可,因为后续其他边的添加总会将二者连通起来。接着按照权值的升序依次把边 1-7、0-2、5-7 加到 T 中,直到碰到边 1-3,如果把 1-3 加入 T 中,就会出现环 1-3-2-0-7-1,所以直接将 1-3 舍弃,1-5、2-7 也同理被丢弃掉。由于边 4-5 不会在 T 中构成环,所以将其加入 T。重复上述步骤,直到|T|=|V|−1。
上述过程中有两个影响性能的地方,一个是找出 E 中权值最小的边 em,一个是判断将 em 加到 T 中是否会出现环。
二叉堆
二叉堆是一棵完全二叉树,且每个父节点总是大于等于(最大堆)或者小于等于(最小堆)他的子节点。《算法第四版》中给出了使用数组存储的最大堆的结构,其中数组下标为 0 的地方不存储元素,假设下标为 i 出存放的是父节点,那么 2i 和 2i+1 处就是子节点:
由于最小堆的堆顶节点总是最小的,所以只需将 E 变为一个最小堆,每次取出堆顶的元素即可,时间复杂度为O(logN)。下面来看下如何实现最小堆。
API
对于一个二叉堆,我们关心以下操作:
package com.zhiyiyo.collection.queue; public interface PriorQueue> { /** * 向堆中插入一个元素 * @param item 插入的元素 */ void insert(T item); /** * 弹出堆顶的元素 * @return 堆顶元素 */ T pop(); /** * 获取堆中的元素个数 */ int size(); /** * 堆是否为空 */ boolean isEmpty(); }
插入
为了保证二叉堆是一棵完全二叉树,每次都将新节点插到数组的末尾,也就是二叉树的最后一个节点。如下图所示,假设插入的节点为 A,它的父节点为 P,兄弟节点为 S,由于 P > A,这就打破了二叉堆的有序性,所以需要对堆进行调整。具体流程就是将兄弟节点中的较小者(A)选为父节点,而先前的父节点 P 则退位变为子节点。如果此时 A 的父节点小于 A,则无需继续调整。但是下图中只交换了 A、P 之后还是没将二叉树调整为堆有序状态,因为父节点 D > A,接着将兄弟节点中较小的 A 变为父节点,而 D 则变成 A 的子节点,至此完成最小堆的调整。
上述过程的代码如下所示,为了保证后续插入操作,每当数组满员时就对其进行扩容操作:
package com.zhiyiyo.collection.queue; import java.util.Arrays; public class MinPriorQueue> implements PriorQueue { private T[] array; private int N; public MinPriorQueue() { this(3); } public MinPriorQueue(int maxSize) { array = (T[]) new Comparable[maxSize + 1]; } @Override public boolean isEmpty() { return N == 0; } @Override public int size() { return N; } @Override public void insert(T item) { array[++N] = item; swim(N); if (N == array.length - 1) resize(1 + 2 * N); } /** * 元素上浮 * * @param k 元素的索引 */ private void swim(int k) { while (k > 1 && less(k, k / 2)) { swap(k, k / 2); k /= 2; } } private void swap(int a, int b) { T tmp = array[a]; array[a] = array[b]; array[b] = tmp; } private boolean less(int a, int b) { return array[a].compareTo(array[b]) < 0; } private void resize(int size) { array = Arrays.copyOf(array, size); } }
删除最小元素
假设我们需要删除下图中的 A 元素,这时候就需要将 A 和最小堆的最后一个元素 P 交换位置,并将数组的最后一个元素置为 null
,使得 A 的引用次数变为 0,能被垃圾回收机制自动回收掉。交换之后最小堆的有序性被破坏了,因为父节点 P > 子节点 D,这时候和插入元素的操作一样,将较小的子节点和父节点交换位置,使得较大的父节点能够下沉,而较小的子节点上位,这个过程持续到没有子节点被 P 更小为止。
实现代码如下:
@Override public T pop() { T item = array[1]; swap(1, N); array[N--] = null; sink(1); if (N < (array.length - 1) / 4) resize((array.length - 1) / 2); return item; } /** * 元素下沉 * * @param k 元素的索引 */ private void sink(int k) { while (2 * k <= N) { int j = 2 * k; // 检查是否有两个子节点 if (j < N && less(j + 1, j)) j++; if (less(k, j)) break; swap(k, j); k = j; } }
并查集
假设 TT 中的顶点的集合为 V′,则有图 G′=(V′,T)。我们可以将 G′ 划分为 n 个连通分量,每个连通分量有一个标识 id∈[0,n−1]。要想判断将边 em 加入 T 后是否会构成环,只需判断 em 的两个顶点是都属于同一个连通分量即可。
判断是否连通
由于每个连通分量都不存在环,可以看作一棵小树,所以可以用一个数组 int[] ids
的索引表示树中的节点(图中的顶点),而索引处的元素值为父节点的索引值,数组中 ids[i] == i
的位置就是每棵树的根节点,i
就是这个连通分量的标识。而我们想要知道两个节点之间是否连通,只需判断他们所属的树的根节点是否相同即可。
假设从树底的叶节点 6 出发,一路向上直到树顶 1,中间需要经过 5 和 0 两个节点,如果节点 6 的根节点查询得比较频繁,那么这种查找效率是比较低的。由于我们只需知道根节点是谁即可,树的结构无关紧要,那么为何不想个办法把节点 5、6 直接挂到根节点 1,这样只要一步就能知道根节点。实现这种想法的的方式就是路径压缩:当从节点 6 走到父节点 5 时,就将节点 6 挂到节点 5 的父节点 0 上;而从节点 0 走到根节点 1 时,就将子节点 6 和 5 挂到根节点 1 下,树高被压缩为 1。
实现上述过程的代码如下所示:
package com.zhiyiyo.collection.tree; public class UnionFind { private int[] ids; private int[] ranks; // 每棵树的高度 private int N; // 树的数量 public UnionFind(int N) { this.N = N; ids = new int[N]; ranks = new int[N]; for (int i = 0; i < N; i++) { ids[i] = i; ranks[i] = 1; } } /** * 获取连通分量个数 * * @return 连通分量个数 */ public int count() { return N; } /** * 获得连通分量的 id * * @param p 触点 id * @return 连通分量 id */ public int find(int p) { while (p != ids[p]) { ids[p] = ids[ids[p]]; // 路径压缩 p = ids[p]; } return p; } /** * 判断两个触点是否连通 * * @param p 触点 p 的 id * @param q 触点 q 的 id * @return 是否连通 */ public boolean isConnected(int p, int q) { return find(p) == find(q); } }
合并连通分量
我们将 E 中的 em 添加到T中时,em 的两个节点肯定分属于两个连通分量,加入 T 之后就需要将这两个分量合并,也就是将两棵小树合并为一颗大树。假设两棵树的高度分别为 h1 和 h2,如果直接将一颗树的根节点接到另一棵树的叶节点上,会导致新树高度为 h1+h2,降低寻找根节点的效率。解决方式是按秩归并,将矮树的根节点接到高树的根节点上,会出现两种情况:
- 如果 h1≠h2,新树高度会是 max{h1,h2}m
- 如果 h1=h2=c,新树高度会是 c+1
上述过程的代码如下所示:
/** * 如果两个触点不处于同一个连通分量中,则连接两个触点 * * @param p 触点 p 的 id * @param q 触点 q 的 id */ public void union(int p, int q) { int pId = find(p); int qId = find(q); if (qId == pId) return; // 将小树并到大树 if (ranks[qId] > ranks[pId]) { ids[pId] = qId; } else if (ranks[qId] < ranks[pId]) { ids[qId] = pId; } else { ids[qId] = pId; ranks[pId]++; } N--; }
实现算法
实现 kruskal 算法时,先将所有边加入最小堆中,每次取出堆顶的元素 em,然后使用并查集判断边的两个顶点是否连通,如果不连通就将 em 加入 T,重复这个过程直至 |T|=|V|−1,时间复杂度为O(|E|log|E|)。
package com.zhiyiyo.graph; import com.zhiyiyo.collection.queue.LinkQueue; import com.zhiyiyo.collection.queue.MinPriorQueue; import com.zhiyiyo.collection.queue.Queue; import com.zhiyiyo.collection.tree.UnionFind; import java.util.stream.Stream; import java.util.stream.StreamSupport; public class KruskalMST implements MST { private Queuemst; public KruskalMST(WeightedGraph graph) { mst = new LinkQueue<>(); UnionFind uf = new UnionFind(graph.V()); MinPriorQueue pq = new MinPriorQueue<>(); for (Edge e : graph.edges()) { pq.insert(e); } while (mst.size() < graph.V() - 1 && !pq.isEmpty()) { Edge edge = pq.pop(); int v = edge.either(); int w = edge.another(v); if (!uf.isConnected(v, w)) { mst.enqueue(edge); uf.union(v, w); } } } @Override public Iterable edges() { return mst; } @Override public double weight() { Stream stream = StreamSupport.stream(mst.spliterator(), false); return stream.map(Edge::getWeight).reduce(0d, Double::sum); } }
Prim 算法
Prim 算法的思想是初始化最小生成树为一个根节点 0,然后将根节点的所有邻边加入最小堆中,从最小堆中弹出最小的边 em,如果 em 不会使得树中出现环,将将其并入树中。每当有新的节点 v 被并入树中时,就得将 v 的所有邻边加入最小堆中。重复上述过程直到 |T|=|V|−1,时间复杂度为O(|E|log|E|)。代码如下所示:
package com.zhiyiyo.graph; import com.zhiyiyo.collection.queue.LinkQueue; import com.zhiyiyo.collection.queue.MinPriorQueue; import com.zhiyiyo.collection.queue.Queue; import java.util.stream.Stream; import java.util.stream.StreamSupport; /** * 延时版本 Prim 算法 */ public class PrimMST implements MST { private boolean[] marked; private MinPriorQueuepq; private Queue mst; public LazyPrimMST(WeightedGraph graph) { marked = new boolean[graph.V()]; pq = new MinPriorQueue<>(); mst = new LinkQueue<>(); mark(graph, 0); while (mst.size() < graph.V() - 1 && !pq.isEmpty()) { Edge edge = pq.pop(); int v = edge.either(); int w = edge.another(v); // 构成环则舍弃 if (marked[v] && marked[w]) continue; mst.enqueue(edge); if (!marked[v]) mark(graph, v); else if (!marked[w]) mark(graph, w); } } private void mark(WeightedGraph graph, int v) { marked[v] = true; for (Edge edge : graph.adj(v)) { if (!marked[edge.another(v)]) { pq.insert(edge); } } } @Override public Iterable edges() { return mst; } @Override public double weight() { Stream stream = StreamSupport.stream(mst.spliterator(), false); return stream.map(Edge::getWeight).reduce(0d, Double::sum); } }
由于每次都是把新节点的所有邻边都加到了最小堆中,会引入许多无用的边,所以《算法第四版》中给出了使用索引优先队列实现的即时版 Prim 算法,时间复杂度能达到O(|E|log|V|),但是这里写不下了,大家可以自行查阅,以上~~
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