【模拟赛】大难题（卡塔兰数，数位DP，进制转换）

背景

国王之手不喜欢巨人 ，巨人也不喜欢国王之手，但他们有一个共同点：都不喜欢炼金师。
——Deadcells:王座之间

题面

一个阶梯状图形，第一行靠右有 $n$ 个色块，第二行靠右有 $n-1$ 个色块……一直到第 $n$ 行。令 $f(n)$ 等于用最少的矩形不重叠地刚好覆盖所有色块的方案数。

定义 $V(x)$ 为 $x$ 的质因数分解中 7 的幂。

求 ${\max }_{i=l}^{r}V((i+1)f(i))$ 。

$l\le r\le 10^{10000}$ 。

题解

这道题，懒人是很难做出来的。

我们先分析函数 $f(n)$ ，容易发现 $f(n)$ 的递推式：
$$f(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i-1)f(n-i)$$

这个递推式和卡塔兰数的递推式一模一样，由于开头的几项也一样，所以 $f(n)$ 就是卡塔兰数。

如果我们列出卡塔兰数的这个表达式 $f(n)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n-1}\right)$ ，我们是做不出来的。所以记忆不同的一些表达式总是很有必要：
$$f(n)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n-1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)-\frac{n}{n+1}\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)}{n+1}$$

代进去，刚好
$$\begin{gathered} \underset{i=l}{\overset{r}{\max }}V((i+1)f(i))= \\ \underset{i=l}{\overset{r}{\max }}V\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2i}{i}\right)\right)= \\ \underset{i=l}{\overset{r}{\max }}V((2i)!)-2V(i!) \end{gathered}$$

接下来冷静分析 $V(x!)$：
$$V(x!)=\sum _{i=1}\lfloor \frac{x}{7^i}\rfloor$$

我们把 $x$ 表示成 $7$ 进制数 ${\sum }_{i=0}{a}_i{7}^i$ 就好办了
$$V(x!)=\sum _{i=0}{a}_i\frac{7^{i-1}-1}{6}=\frac{{\sum }_{i=0}(a_i{7}^{i-1}-a_i)}{6}=\frac{\lfloor x/6\rfloor -{\sum }_{i=0}{a}_i}{6}$$

我们再令 $S_x={\sum }_{i=0}{a}_i$ ，答案式子就很直观了
$$\underset{i=l}{\overset{r}{\max }}V((2i)!)-2V(i!)=\underset{i=l}{\overset{r}{\max }}\frac{2S_i-S_{2i}}{6}$$

由于 $S_i$ 是七进制下每一位的和，所以最终答案不超过两万！

最后我们可以用数位DP来解决，除了是否抵达上/下界，还要记录 $2i$ 后续是否进位，不然无法处理 $S_{2i}$ 。

由于需要进制转换，所以用压位高精的话，时间是极小常数的 $O(|r{|}^2)$ 。

CODE

#include
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#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define MAXN 10005
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define ENDL putchar('\n')
#define DB double
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define FI first
#define SE second
int xchar() {
	static const int maxn = 1000000;
	static char b[maxn];
	static int pos = 0,len = 0;
	if(pos == len) pos = 0,len = fread(b,1,maxn,stdin);
	if(pos == len) return -1;
	return b[pos ++];
}
//#define getchar() xchar()
LL read() {
	LL f = 1,x = 0;int s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s<0)return -1;if(s=='-')f=-f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x = (x<<1) + (x<<3) + (s^48);s = getchar();}
	return f*x;
}
void putpos(LL x) {if(!x)return ;putpos(x/10);putchar((x%10)^48);}
void putnum(LL x) {
	if(!x) {putchar('0');return ;}
	if(x<0) putchar('-'),x = -x;
	return putpos(x);
}
void AIput(LL x,int c) {putnum(x);putchar(c);}

int n,m,s,o,k;
char ll[MAXN],rr[MAXN];
const int B = 100000000;
struct it{
	vector<int> s;
	int n;
	it(){s.resize(2); s[n=1] = 0;}
	it(int x){s.resize(2); s[n=1] = x;}
	int MD(int x) {
		int as = 0;
		for(int i = n;i > 0;i --) {
			as = (as*B%x + s[i]) % x;
		}return as;
	}
	bool emp() {return n == 1 && s[1] == 0;}
};
it operator + (it a,it b) {
	int m = 0;
	for(int i = 1;i <= a.n || i <= b.n || m;i ++) {
		if(i >= a.s.size()) a.s.push_back(0);
		if(i > a.n) a.s[++ a.n] = 0;
		if(i >= b.s.size()) b.s.push_back(0);
		if(i > b.n) b.s[++ b.n] = 0;
		a.s[i] = a.s[i] + b.s[i] + m;
		if(a.s[i] > B) a.s[i] -= B,m = 1;
	}
	return a;
}
it operator * (it a,it b) {
	it c; if(a.n > b.n) swap(a,b);
	for(int i = 1;i <= a.n;i ++) {
		int m = 0;
		for(int j = 1;j <= b.n || m;j ++) {
			if(j >= b.s.size()) b.s.push_back(0);
			if(j > b.n) b.s[++ b.n] = 0;
			if(i+j-1 >= c.s.size()) c.s.push_back(0);
			if(i+j-1 > c.n) c.s[++ c.n] = 0;
			LL nm = (c.s[i+j-1] + a.s[i]*1ll*b.s[j] + m);
			m = nm/B; c.s[i+j-1] = nm%B;
		}
	}return c;
}
it operator / (it a,int b) {
	LL m = 0;
	for(int i = a.n;i > 0;i --) {
		m = m*B + a.s[i];
		a.s[i] = m / b; m %= b;
	} while(a.n > 1 && a.s[a.n] == 0) a.n --;
	return a;
}
int a[MAXN<<2],b[MAXN<<2];
int dp[MAXN<<2][2][2][2];
int main() {
	freopen("dingdingcar.in","r",stdin);
	freopen("dingdingcar.out","w",stdout);
	it L,R;
	scanf("%s",ll + 1);
	n = strlen(ll + 1);
	scanf("%s",rr + 1);
	m = strlen(rr + 1);
	for(int i = 1;i <= n;i ++) L = L * it(10) + it(ll[i]-'0');
	for(int i = 1;i <= m;i ++) R = R * it(10) + it(rr[i]-'0');
	n = 0; m = 0;
	while(!L.emp()) a[++ n] = L.MD(7),L = L/7;
	while(!R.emp()) b[++ m] = R.MD(7),R = R/7;
	int le = max(n,m);
	for(int s = 0;s < 2;s ++) {
		for(int o = 0;o < 2;o ++) {
			for(int k = 0;k < 2;k ++) {
				dp[le+2][s][o][k] = -0x3f3f3f3f; // 44 65
			}
		}
	}
	dp[le+2][0][0][0] = 0;
	for(int i = le+1;i > 0;i --) {
		for(int s = 0;s < 2;s ++) {
			for(int o = 0;o < 2;o ++) {
				for(int k = 0;k < 2;k ++) {
					dp[i][s][o][k] = -0x3f3f3f3f;
				}
			}
		}
		for(int s = 0;s < 2;s ++) {
			for(int o = 0;o < 2;o ++) {
				int nl = (s ? 0:a[i]),nr = (o ? 6:b[i]);
				for(int x = nl;x <= nr;x ++) {
					bool k1 = ((x<<1)>=7 ? 1:0),k2 = ((x<<1|1)>=7 ? 1:0);
					bool A = (s || x > a[i]),B = (o || x < b[i]);
					dp[i][A][B][0] = max(dp[i][A][B][0],dp[i+1][s][o][k1] + x*2 - (x*2%7));
					dp[i][A][B][1] = max(dp[i][A][B][1],dp[i+1][s][o][k2] + x*2 - ((x<<1|1)%7));
				}
			}
		}
	}
	int ans = 0;
	for(int s = 0;s < 2;s ++) {
		for(int o = 0;o < 2;o ++) {
			ans = max(ans,dp[1][s][o][0]);
		}
	}
	ans /= 6;
	AIput(ans,'\n');
	return 0;
}