【笔试算法题】递归（dfs & 记忆化搜索 & 分治）

递归：

递归指函数调用自身。常用的递归算法有dfs（深度优先搜索）、记忆化搜索和分治。

一、dfs（深度优先搜索）

1.图的dfs

/**
 * 深度优先搜索
 * 
 * @param node
 * @param set
 */
public void DFS(Node node, Set set) {
    if (node == null) {
        //当没有节点时，退出此次方法
        return;
    }
    if (!set.contains(node)) {
        //没有搜到过就保存，并且继续向下推进
        set.add(node);
        System.out.print(node.value + " ");
        for (Node node1 : node.nexts) {
            DFS(node1, set);
        }
    }
}

 2.树的dfs

树（边数=顶点数-1的图）的dfs

public static void dfs(Node treeNode) {
        if (treeNode == null) {
            return;
        }
        System.out.print(treeNode.value + " ");
        // 遍历左节点
        dfs(treeNode.left);
        // 遍历右节点
        dfs(treeNode.right);
    }

使用dfs代替状压枚举：  dfs 优于 状压枚举

二、记忆化搜索

记忆化搜索，指通过记录已经搜索到的值来降低重复操作次数，从而加快运行速度。

斐波那契数列问题： 1,1,2,3,5,8,... 求斐波那契数列第n项

1.普通递归：O(2^n)

public static int f(int n){
    if(n<=1)return 1;
    return f(n-1)+f(n-2);
}

2.记忆化搜索: O(n)

    static int[] dp = new int[1000] ;
    public static int f1(int n){
        if(n<=1) return dp[n] = 1;
        if(dp[n]!=0)return dp[n];
        return dp[n]=f1(n-1)+f1(n-2);
    }

三、分治

将问题拆分成子问题进行求解。

例如归并排序： 1,4,7,2,5,8,3,6,9

第一步 拆分： 左边：1,4,7,2 右边：5,8,3,6,9

第二步 递归排序 左边：1,2,4,7 右边：3,5,6,8,9

第三步 合并两个有序数组 左边：1,2,4,7 右边：3,5,6,8,9

四、算法题

1.dia和威严 难度⭐⭐

知识点：dfs

从根开始dfs即可，dfs的过程中就能找到每个点需要的时间，维护一下最大值。

题目描述：

dia是学生会长。她经常有信息要传达给别人。
学生会的阶层等级森严。每个阶级传达信息只能传达到自己的下属。
一个人可以有多个下属，但一个人最多只能有一个上级。（树）
dia作为学生会长，很明显是没有上级的（即全学生会权利最大者）。
已知每个人传达到下属所消耗的时间。（传达给不同的下属，时间不一定相同）
现在dia有一个信息要传达给一个指定者。只有信息接收的指定者才需要理解信息（花费ai的时间）。她不想让效率太慢，于是她想找出最大时间消耗的那个路线（包括信息接收指定者所需要理解信息的时间），这样就能方便整改。

输入描述:

第一行一个正整数n，代表学生会的人数（dia是1号，其他人标记为2号到n号）。    （1≤n≤200000）
第二行有n-1个正整数ai，代表从2号到n号，每个人需要理解信息的时间。        （1≤a1≤100）
接下来的n-1行，每行有3个正整数x,y,k,代表x是y的上级，x向y传播信息需要消耗k的时间。（1≤x,y≤n,1≤k≤100）

输出描述:

一个正整数，代表dia选定某人作为信息接收指定者后，花费总时间的最大值。

示例1：

输入

3
3 4
1 2 4
1 3 2

输出

7

说明

若dia指定3号为信息接受者，消耗时间为2+4=6。
若dia指定2号为信息接受者，消耗为4+3=7。
故最大值为7。

备注:

注：只有指定者需要理解信息，传达者不需要花费时间理解信息。

import java.util.*;
import java.io.*;
public class Main{
    static class Edge{
        int to;
        int weight;
        //保存子节点，与线权（传播时间）。
        Edge(int to,int weight){
            this.to = to;
            this.weight = weight;
        }
    }
    static ArrayList[] g;
    static int maxtime;
    static int weight[];
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        int n = Integer.parseInt(br.readLine()); //n为总人数
        weight = new int[n+1];
        g = new ArrayList[n+1];
        // 每个桶中保存一个ArrayList（可达）
        //这里的i代表了第几个数（从1开始）
        for(int i = 1;i<=n;i++){
            g[i] = new ArrayList();
        }
        //保存所有点权（理解时间）纪录了从2到n的点权，与数字的位子相对应。
        String[] s = br.readLine().split(" ");
        for(int i = 0;i

非常典型的dfs模板题目：dfs一个树，寻找根到某点的线权总合+某点的点权

思考：？？？

思考1：假如变成根到某点的线权总合+根到某点的点权总合，程序应该怎么改？

解：dfs(g[i].get(k).to,time+g[i].get(k).weight+weight[i]);//那就加个点权

思考2：假如变成根到叶子点的线权总合+叶子点的点权，程序应该怎么改？

(1)首先思考一个问题：这个递归没有任何判断结束的条件。他是怎么结束的？

        因为我们将他递归的过程安排的明明白白，他只是在执行有序有限的递归操作。所以没有给出判断条件。

(2)那么我们应该怎么判断他到叶子节点了呢？

        我们单单在递归的代码上修改是不能判断出是否到达了叶子节点，所以还需要想清楚结构体是咋样的。

解：if(maxtimeg[i].isEmpty())maxtime = time+weight[i];

思考3：假如变成随意定点到某点的线权总合+某点的点权，程序应该怎么改？

解：dfs(点的编号,0); 0代表时间从0开始递归

2.小红点点点 难度⭐⭐

知识点：dfs

开一个visited数组用来标记是否访问。对于每个没被访问过的红色节点，开始dfs并标记其相邻的红色节点。只要标号是从小到大开始遍历，最终形成的方案就一定是字典序最小的

题目描述：

小红拿到了一个图，其由 n个顶点、m 条边组成。
这个图上面的一些点被染成了红色。
小红有一个能力：她每次可以点击一个红色的顶点，并将和这个顶点相邻的红色连通块的所有红色顶点全部标记。
当两个红色顶点有一条边相连时，这两个红色顶点被称为连通的。另外，若a和b连通且b和c连通，那么a和c也是连通的。
小红想知道自己至少要点击多少次，可以把所有红色的顶点全部标记。
你能告诉她点击的次数吗？并请你输出一个点击的方案，如果有多个方案合法，请你输出一个字典序最小的方案。

注：字典序的定义：两个不同方案的字典序比较：对于从左到右数第一个不同的数，哪个方案最小，那么它的字典序最小。
例如：方案[1,4,5]和方案[1,3,6]相比，后者更小。因为第一个出现的不同的数是第二个数，4>3。 

输入描述:

第一行输出两个正整数 n 和 m ，用空格隔开。分别代表顶点数和边数。
第二行输入一个长度为 n 的字符串，代表每个顶点的染色情况。第 i 个字符为'R'代表第 i 个点被染成红色，为'W'代表未被染色。
接下来的 m 行，每行两个正整数 x 和 y ，代表 x 和 y 有一条无向边相连。
不保证图是整体连通的。不保证没有重边和自环。

数据范围： 

 

输出描述:

第一行输出一个正整数 cnt ，代表小红的点击次数。
第二行输出 cnt 个正整数，用空格隔开，代表小红点击的顺序。

示例1

输入

5 5
RRRWR
3 4
3 1
2 5
5 5
4 5

输出

2
1 2

说明

可以发现，共有2个红色连通块：{1,3}和{2,5}。只需要点击2次即可，字典序最小的方案是[1,2]

import java.util.*;
import java.io.*;
 
public class Main {
    static ArrayList[] g;
    static String[] strings;
    static int[] visited;
 
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        String[] firstLine = br.readLine().split(" ");
        int n = Integer.parseInt(firstLine[0]);
        int m = Integer.parseInt(firstLine[1]);
        g = new ArrayList[n+1];
        visited = new int[n+1];
        for (int i=1;i();
        }
        //一个字符一个字符的读取
        strings = br.readLine().split("");
        for (int i=0;i

3.kotori和素因子  难度⭐⭐⭐

知识点：dfs(回溯法)

按照题意进行dfs即可。注意素因子的判重，可以使用set或者visited数组。

题目描述:

kotori拿到了一些正整数。她决定从每个正整数取出一个素因子。但是，kotori有强迫症，她不允许两个不同的正整数取出相同的素因子。

她想知道，最终所有取出的数的和的最小值是多少？

注：若a%k==0，则称k是a的因子。若一个数有且仅有两个因子，则称其是素数。显然1只有一个因子，不是素数。

输入描述:

第一行一个正整数n，代表kotori拿到正整数的个数。

第二行共有n个数ai，表示每个正整数的值。

保证不存在两个相等的正整数。

1<=n<=10

2<=ai<=1000

输出描述:

一个正整数，代表取出的素因子之和的最小值。若不存在合法的取法，则输出-1。

示例1 

输入

4
12 15 28 22

输出

17

说明

分别取3，5，7，2，可保证取出的数之和最小 

示例2

输入

5
4 5 6 7 8

输出

-1

备注:        1<=n<=10        2<=ai<=1000

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main{
    static boolean[] check = new boolean[2000];
    static int[] ai;
    static int n;
    static int min = Integer.MAX_VALUE;
    //判断是否为素数
    static boolean isPrime(int x){
        if(x<2) return false;
        //这是根据开根号的演化版本，提高了效率。
        for(int i=2;i*i<=x;i++){
            if(x%i==0)return false;
        }
        return true;
    }
    static void dfs(int index,int sum){
        if(index==n){
            min=Math.min(min,sum);
            return;
        }
        //查找这个数没有被占用的素因子。
        for(int i=2;i<=ai[index];i++){
            if(ai[index]%i==0&&check[i]==false&&isPrime(i)){
                check[i]=true;
                dfs(index+1,sum+i);
                //回溯的方法。
                check[i]=false;
            }
        }
    }
    public static void main(String[] args)throws IOException{ 
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        n = Integer.parseInt(br.readLine());
        String[] a = br.readLine().split(" ");
        //负责保存所有输入的数
        ai = new int[n];
        for(int i=0;i

4.kotori和糖果  难度⭐⭐⭐⭐

知识点：记忆化搜索

正难则反，我们反向推理。

如果共有n个糖果：

• 若n为偶数，最后一次合并一定是两堆n/2合并最优。
• 若n为奇数，最后一次合并一定是一堆n/2和一堆n/2+1合并最优（合并的价值为1）。

所以得到递推式：f(n)=f(n/2)+f(n-n/2)+n%2

题目描述：

kotori共有n块糖果，每块糖果的初始状态是分散的，她想把这些糖果聚在一堆。但她每次只能把两堆糖果合并成一堆。

已知把两堆数量为a和b的糖果聚在一堆的代价是|a-b|。

kotori想知道，她把这n块糖果聚在一堆的最小代价是多少？

输入描述:

第一行是一个正整数T，代表数据组数。

第二行到第T+1行，每行一个非负整数n，代表kotori的糖果总数量。

输出描述:

每行一个整数，代表kotori需要花费的最小代价。

示例1

输入

2
5
6

输出

2
2

说明

n=5时，kotori可以这样聚集糖果：

1 1 1 1 1

2 1 1 1

2 2 1

2 3

5

每一步的代价分别是0,0,1,1，总代价为2。

备注:

对于50%的数据，0 
  
import java.util.*;
import java.io.*;
public class Main{
    static HashMap map = new HashMap<>();
    public static void main (String[] args) throws IOException{
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        int num = Integer.parseInt(br.readLine());
        for(int i = 0; i
 
  
 
   
num%2的作用就是为了计数，且保存。