【算法基础】DP 动态规划(一) ——背包问题学习总结（闫氏DP分析法）

前言
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一、了解动态规划DP

何为DP？中文翻译为动态规划，很怪，个人认为还是叫做动态递推比较合适。

指的是将一个复杂的问题，分解成简单的问题（用一种递归的方式）——WIKI
本质：分治（与递归没有本质区别）+ 最优解 ，很多就是一些细节的不同。

二、闫式DP分析法

y总的方法

三、01背包 [DP入门]

• [0-1]背包最基础动态规划，也是所以背包问题的基础，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
  题目链接
  题目
  

闫式DP分析
①状态表示

• 集合f[i][j]:所有只从前i个物品中选,并且总体积≤j的选法的 【核心】请记住这句话，DP就是一直围绕这句话实现的
• 属性：MAX
  

②状态计算

• 当前背包容量不够（j < v[i]），没得选，因此前 i 个物品最优解即为前 i−1个物品最优解：f[i][j] = f[i - 1][j]。
• 如果可以选 ：f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]。

③二维分析过程↓

就第一步举例：首先对f(4,8)的理解，其中4是指第i个物品就行选择（选 or不选），8是指背包的容量，看图，下一步是f(3,x) 表示是对第4个物品进行了抉择（不管选还是不选 4必须减去1）， 如果选择的话，背包容量就会减去第i个物品的体积 （表示当前背包容量）， 后面加上的第i物品价值 +w[i], 图中的+8，就是现在背包的价值.。

代码
二维写法
时间复杂度 O(n*m)

#include 
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];//v:体积  w：价值
int f[N][N];//集合表示

int main () {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 1; j <= m; j ++) {
                f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= v[i]) {
                 f[i][j] =max (f[i][j],f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

一维写法 [优化：对代码等价变形]

优化↓

for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        //for (int j = 1; j <= m; j ++) { 更改顺序
            for(int j = m; j >= 0; j --) {
            if (j < v[i]) {//体积超出背包容量，不选
                //f[i][j] = f[i - 1][j];
                f[j] = f[j] //优化
            }
            else  {//决策要不要选
                //f[i][j] =max (f[i - 1][j],f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
                f[i][j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); //优化
            }
        }
    }

进一步优化↓

for(int i = 1; i <= n; i++)
{
    for(int j = m; j >= v[i]; j --) { //可以选时才会更新状态
        f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
} 

终极版本

#include 
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];//v:体积  w：价值
int f[N];//集合表示 一开始全为0

int main () {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = m; j >= v[i]; j --) { //可以选时才会更新状态
          f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    } 
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

四、完全背包

• 与 [0-1]背包的区别 ——每件物品可以选无限次
  题目链接

  题目
  

闫式DP分析

先从朴素(baoli)算法 时间复杂度接近 O(n³)

优化：错位相减的思路↓

• 图中橘色部分与f[i,j-v]相差w
• 得到：f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i,j-v]+w ) 完全背包
• 对比 ：f[i][j]=max(f[i][j],f[i,j-v]+w ) 01背包
  
  最终代码

#include 
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];//v:体积  w：价值
int f[N];//集合表示 一开始全为0

int main () {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
     for(int j = v[i]; j <= m; j ++) { 
          f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    } 
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

五、多重背包

• 与完全背包有点相似 —— 每件物品最多有 s[i]种选择
  题目链接
  

朴素做法

#include 
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;//物品 体积
int v[N], w[N], s[N];// 体积 ：价值 ：个数
int f[N][N];//集合
int main () {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) { //枚举种类
        for (int j = 0; j <= m; j ++) {//枚举体积
            for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <=j ; k++) { //枚举第i个物品选多少个
                            //个数限制     体积限制
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);
            }
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

优化

用前面错位相减的思路 这道题用不了

• 如果一件一件选的话，暴力时间复杂度：O(n³) 而且数据类型还是1000 + 一定会TLE
  所以， 考虑二进制优化 —> 优化后时间复杂度 : O(nlogn)
• 步骤 ：拆分第i件物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为1,2,4,…,2^(k) , s[i]-2^k+1 + 1.(C)[下图的C]，且k是满足s[i] - 2^k+1 + 1>0 的最大整数,并且C < 2^k+1。

举个栗子，如果s[i]为13，就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6(C)的四件物品。

代码

#include 
using namespace std;
const int N = 25000;//2000 * log2 1000
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int cnt = 0;//记录物品编号

int main () {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        int a, b, s;//体积：价值：个数
        cin >> a >> b >> s;
        int k = 1;
        while (k <= s) {
            cnt++;
            v[cnt] = a * k; 
            w[cnt] = b * k;
            s -= k;
            k *= 2;	//二进制优化
        }
        if (s >0) {//补上最后的C
            cnt++;
            v[cnt] = a * s;
            w[cnt] = b * s;
        }
    }
    n = cnt; //更新n
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = m; j >= v[i]; j --) {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
  
}

六、分组背包问题

• 与前面的背包的区别 ——前面背包都是每件物品选几次，而分组背包问题是第i组物品选哪个？
  题目
  题目链接
  

思路

把分组背包问题 化解为 01背包问题

AC代码

#include 
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int v[N][N], w[N][N],s[N];//s：每组物品个数
int f[N];

int main () {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {//枚举所有体积
        cin >> s[i];//读入每一组的体积 和价值
        for (int j = 0; j < s[i]; j ++) {
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n;i ++) {   // 枚举每一组物品 s
        for (int j = m; j >= 0; j --)//从大到小枚举每一组体积 同前面背包
            for (int k = 0; k < s[i]; k ++) { //枚举所有选择 
                if (v[i][k] <= j) {
                    f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
                }
            }
    }
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
  
}

七、个人总结

01背包 & 完全背包

• 原式：
  [01]f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i])
  完全背包f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);

• 一维：f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i])[相同]

for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = m; j >= v[i]; j --) { //01背包
     // for(int j = v[i]; j <= m; j --) { //完全背包
          f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    } 

• 为什么01背包 按照V…0 逆序，而完全背包于此相反？
  如果转移的时候用的是上一层i - 1的状态的话，就从大到小来枚举体积[可以保证我们算体积 所用到的体积都是没有被计算过的 ] 即要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-c[i]]递推而来的。。如果是本层i的状态的话（完全背包），于此相反就要从小到大来枚举体积【因为完全背包：每种物品可选无限件，考虑选第i件物品的时候，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][j-v[i]]】。

多重背包&多组背包

• 多重背包：采用二进制优化为01背包问题
• 多组背包：多了枚举每一组物品，从而转化为01背包问题

八、文章参考

y总的算法基础课

九、最后

分享一段学习中看到的快乐

感谢你能看完， 如有错误欢迎评论指正，有好的思路可以交流一波，如果对你有帮助的话，点个赞鼓励下