蓝桥杯 最大比例【第七届】【省赛】【A组】对指数的更相减损法 C++

资源限制

内存限制：256.0MB   C/C++时间限制：1.0s   Java时间限制：3.0s   Python时间限制：5.0s

　　X星球的某个大奖赛设了M级奖励。每个级别的奖金是一个正整数。
　　并且，相邻的两个级别间的比例是个固定值。
　　也就是说：所有级别的奖金数构成了一个等比数列。比如：
　　16,24,36,54
　　其等比值为：3/2

　　现在，我们随机调查了一些获奖者的奖金数。
　　请你据此推算可能的最大的等比值。

输入格式

　　第一行为数字N，表示接下的一行包含N个正整数
　　第二行N个正整数Xi(Xi<1 000 000 000 000)，用空格分开。每个整数表示调查到的某人的奖金数额

　　要求输出：
　　一个形如A/B的分数，要求A、B互质。表示可能的最大比例系数

　　测试数据保证了输入格式正确，并且最大比例是存在的。

　　例如，输入：
　　3
　　1250 200 32

　　程序应该输出：
　　25/4

　　再例如，输入：
　　4
　　3125 32 32 200

　　程序应该输出：
　　5/2

　　再例如，输入：
　　3
　　549755813888 524288 2

　　程序应该输出：
　　4/1

　　资源约定：
　　峰值内存消耗 < 256M
　　CPU消耗 < 3000ms

　　请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。

　　所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。

　　注意: main函数需要返回0
　　注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准，不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
　　注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include ， 不能通过工程设置而省略常用头文件。

　　提交时，注意选择所期望的编译器类型。

思路

本次的题目中，比较明显是和求最大公约数有关的，但是公比是分数，并且算出来的公比也可能是正确的公比的n次方，所以不好直接利用辗转相除法。这里采用更相减损法，并且是对指数的更相减损法，因为在并不知道是正确公比的n次方的情况下，只能是对每一个可能的公比都开方，而具体开多少方并不知道，而不管是公比的多少次方，比如25/4，125/8，分别是5/2的2次和3次方。那么就对2和3求最大公约数，为1,公比便是5/2。处理的时候要分分子分母来处理，分子分母都对指数来约分，最终输出分子分母即可。了解更相减损法戳这里。更多详细思路见AC代码

AC代码即出处

Code

#include
#include

using namespace std;

const int N=110;

typedef long long LL;

LL x[N],a[N],b[N];
int cnt=0;

//假设原数列为 a,a*(p/q)^1,a*(p/q)^2,...,a*(p/q)^(n-1)
//假设抽取的数列  b0,b1,...,b(N-1)  (从小到大排好序了)
//  b1/b0,b2/b0,...,b(N-1)/b0-->  (p/q)^x1,(p/q)^x2,...,(p/q)^x(N-1)
//  我们要求的是：  （p/q）^k  (p/q)>1,所以使k最大，即求 x1~x(N-1)的最大公约数
//这里我们使用更相减损术，因为我们没有得到确切的x1~x(N-1)是多少，我们只有(p/q)^x1,(p/q)^x2,...,(p/q)^x(N-1)这些的值

/*更相减损术：第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。*/

//更相减损术总用较大的减去较小的
/*例子：
    98-63=35
    63-35=28
    35-28=7
    28-7=21
    21-7=14
    14-7=7
所以，98和63的最大公约数等于7。*/

//我们这里要用更相减损术的是指数，所以要让(p/q)^x1,(p/q)^x2,...,(p/q)^x(N-1)，两两计算，互除，除到结果为1,即x1=x2,此时幂次为0，结果为1，这其实就是y总的思路，再次感叹y总的才华
//把分子分母分别去算，结果是相同的因为，分子分母的幂次是相同的
LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b? gcd(b,a%b):a;
}

LL gcd_sub(LL a,LL b)  //对指数利用更相减损法从而实现对底数的开n次方根
{
    if(a>n;

    for(int i=0; i