蓝桥杯 最大比例【第七届】【省赛】【A组】对指数的更相减损法 C++

资源限制

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  X星球的某个大奖赛设了M级奖励。每个级别的奖金是一个正整数。
  并且,相邻的两个级别间的比例是个固定值。
  也就是说:所有级别的奖金数构成了一个等比数列。比如:
  16,24,36,54
  其等比值为:3/2

  现在,我们随机调查了一些获奖者的奖金数。
  请你据此推算可能的最大的等比值。

输入格式

  第一行为数字N,表示接下的一行包含N个正整数
  第二行N个正整数Xi(Xi<1 000 000 000 000),用空格分开。每个整数表示调查到的某人的奖金数额

  要求输出:
  一个形如A/B的分数,要求A、B互质。表示可能的最大比例系数

  测试数据保证了输入格式正确,并且最大比例是存在的。

  例如,输入:
  3
  1250 200 32

  程序应该输出:
  25/4

  再例如,输入:
  4
  3125 32 32 200

  程序应该输出:
  5/2

  再例如,输入:
  3
  549755813888 524288 2

  程序应该输出:
  4/1

  资源约定:
  峰值内存消耗 < 256M
  CPU消耗 < 3000ms

  请严格按要求输出,不要画蛇添足地打印类似:“请您输入...” 的多余内容。

  所有代码放在同一个源文件中,调试通过后,拷贝提交该源码。

  注意: main函数需要返回0
  注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准,不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
  注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include , 不能通过工程设置而省略常用头文件。

  提交时,注意选择所期望的编译器类型。

思路

本次的题目中,比较明显是和求最大公约数有关的,但是公比是分数,并且算出来的公比也可能是正确的公比的n次方,所以不好直接利用辗转相除法。这里采用更相减损法,并且是对指数的更相减损法,因为在并不知道是正确公比的n次方的情况下,只能是对每一个可能的公比都开方,而具体开多少方并不知道,而不管是公比的多少次方,比如25/4,125/8,分别是5/2的2次和3次方。那么就对2和3求最大公约数,为1,公比便是5/2。处理的时候要分分子分母来处理,分子分母都对指数来约分,最终输出分子分母即可。了解更相减损法戳这里。更多详细思路见AC代码

AC代码即出处

Code

#include
#include

using namespace std;

const int N=110;

typedef long long LL;

LL x[N],a[N],b[N];
int cnt=0;

//假设原数列为 a,a*(p/q)^1,a*(p/q)^2,...,a*(p/q)^(n-1)
//假设抽取的数列  b0,b1,...,b(N-1)  (从小到大排好序了)
//  b1/b0,b2/b0,...,b(N-1)/b0-->  (p/q)^x1,(p/q)^x2,...,(p/q)^x(N-1)
//  我们要求的是:  (p/q)^k  (p/q)>1,所以使k最大,即求 x1~x(N-1)的最大公约数
//这里我们使用更相减损术,因为我们没有得到确切的x1~x(N-1)是多少,我们只有(p/q)^x1,(p/q)^x2,...,(p/q)^x(N-1)这些的值

/*更相减损术:第一步:任意给定两个正整数;判断它们是否都是偶数。若是,则用2约简;若不是则执行第二步。
第二步:以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。*/

//更相减损术总用较大的减去较小的
/*例子:
    98-63=35
    63-35=28
    35-28=7
    28-7=21
    21-7=14
    14-7=7
所以,98和63的最大公约数等于7。*/

//我们这里要用更相减损术的是指数,所以要让(p/q)^x1,(p/q)^x2,...,(p/q)^x(N-1),两两计算,互除,除到结果为1,即x1=x2,此时幂次为0,结果为1,这其实就是y总的思路,再次感叹y总的才华
//把分子分母分别去算,结果是相同的因为,分子分母的幂次是相同的
LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b? gcd(b,a%b):a;
}

LL gcd_sub(LL a,LL b)  //对指数利用更相减损法从而实现对底数的开n次方根
{
    if(a>n;

    for(int i=0; i

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