相位解包裹（一）一维相位解包裹

答辩结束了，可以接着更新啦~~~

 

前几篇文章已经写过FTP和PMP两种相位提取的方式，相位提取这一步基本都是固定的了，只要利用正弦条纹结构光做三维测量，这一步不管怎么玩，都基本不脱离FTP或者PMP，当然目前PMP的使用频率更高。

但是，提取相位后的下一步，应该是结构光三维重建非常重要的一步，在我看来，说是最重要的也不为过，就是相位解包裹。

首先我们先讨论什么是相位解包裹。

 

相位解包裹

相位提取不管用FTP还是PMP，最终都是要用反正切来求相位的，那这就意味着，求出来的相位值都是分布在[-pi,pi]或者实

[0,2pi]这一个区间里。需要注意的是这里所说的反正切是四象限反正切。

因此，提取出来的相位是被截断的，被称为包裹相位或者截断相位（wrapped phase），如下图蓝色虚线。需要将它恢复成连续的状态，如下图红色实线，恢复出来的相位称为连续相位或者绝对相位（absolute phase），这一个过程就被称为相位解包裹（phase unwrapping），也有翻译称为相位展开的。

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一维相位解包裹

明白了相位解包裹是什么，就可以开始讨论如何去解包裹相位了，这里从最简单的一维相位解包裹开始讨论。

早在1982年Itoh对一维相位解包裹问题进行了总结，如下图的具体步骤。要注意的是，步骤2里的指截断运算，反正切就是一种截断运算。不过这一步里，为了好理解和方便转成代码，我认为更合适的是MOD 2pi运算。

根据上述的步骤，一维相位解包裹可以总结为 ：连续相位可以通过累加截断相位的差值的截断而求得，也就是表示为下面的式子（符号表示稍有点不一样，不同时间做的总结，我也懒得重新改了，理不直气也壮.jpg）

式中，为第m点的连续相位， 为初始化的起始相位点， 为第n点的连续相位。为求差运算符，定义为

。

 

 

代码逻辑

把上面一维相位解包裹的理论步骤转为代码的话，逻辑上可以更简单一点，可以用下面两种方式。

第一种方式，遍历全部相位值，比较前后两个位置的相位值，求后一点与前一个点的相位差，如果相位差大于pi，则后一个点的相位减2pi；如果相位差小于-pi，则后一个点的相位加2pi；如果相位差大于-pi小于pi，则继续比较下一位置的相位。

第二种方式：第n点的截断相位与第n-1点的连续相位之间的关系可用下式表示：

这个过程就像下面这幅图，向截断的相位加k个2pi把它抬起来到正确的位置

 

总的来说，一维相位解包裹的理论是比较简单好理解的，但为什么到了二维之后会出现那么多问题呢，这就留到后续的文章再继续讨论了。

 

参考文献：

[1] Itoh K. Analysis of the phase unwrapping algorithm[J]. Applied optics, 1982, 21(14): 2470-2470.

[2] Ghiglia D C, Pritt M D. Two-dimensional phase unwrapping: theory, algorithms, and software[M]. New York: Wiley, 1998.

 

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