2022 年第十二届 MathorCup 高校数学建模挑战赛C题解析

题目

自动泊车是自动驾驶技术中落地最多的场景之一，自动泊车指在停车 场内实现汽车的自动泊车入位过程，在停车空间有限的大城市，是一个比 较实用的功能，减少了驾驶员将车辆驶入狭小空间的难度。图 1 为 Apollo D-Kit 车辆在开放露天停车位进行泊车的测试场景，无人车泊入路边一个平 行停车位。

本研究以无人乘用车为例，实现在停车场中进行自动泊车的功能。无
人车为阿克曼结构的乘用车，如图 2 所示，前轮转向后轮驱动；车身可以 看作一个矩形，长4.9m，宽1.8m；车子轴距2.8m，轮间距为1.7m；最大油 门加速度为3.0 m/s! ，极限最大减速度为−6.0 m/s! ，加加速度不超过 20.0 m/s"为宜；方向盘最大转角470°，方向盘与前轮转角的传动比为16: 1（方向盘转动16°，前轮转动1°），方向盘最大转速为400°/s。

图 3 为某停车场平面图，无人车从初始位置出发，假设以初速度为零 开始行驶，将车停在停车场中某一个车位上。停车位上如果没有其他车辆 占用，或车位没有被锁，则无人车可停入。停车位有三种类型，分别为垂 直停车位（停车方向垂直路面）、平行停车位（停车方向与路面平行）和倾 斜停车位。图中用黄色斜线标识的为停车场中部分围墙，白色斜线区域为 禁行区域，车辆不能与其产生冲突或碰撞，黄色横线区域为减速带。停车 位中的箭头指示为车辆泊车完成后的车头朝向。地面上箭头指示了车辆应 该行驶的方向，泊车过程中的倒车方向不予约束。在黄色减速带前后 5m，车辆行驶速度不超过10km/h。

无人车驶到指定位置（如入口处），如何识别出停车场中的最优目标停
车位，以及根据目标车位，如何快速到达并进行安全泊车是自动泊车过程 的核心问题。泊车过程在保证安全的情况下，时间应尽可能短，前进车速 不超过 20km/h，倒车车速不超过 10km/h，在减速带前后 5m 范围车速不超 过 10km/h，轨迹和速度都尽可能平滑（满足最大加速度，最大减速度的约 束，并最好满足最大加加速度的约束）。这里轨迹指的是车身中某一特定点 的轨迹，即控制点；控制点是事先选定的，通常位于无人车车身对称轴（车 身可以近似认为是左右轴对称的）上的一点，在行驶时，控制点的位置会 与轨迹点相重合，控制点处的速度方向将与轨迹点的方向角一致，本研究 假设控制点位于后轴中心上。请你们的参赛队，研究解决以下问题：

问题1： 请根据给出的无人车模型的参数，计算车辆最小转弯半径。 如果限制车辆最大加加速度为20 m/s"，无人车沿直线行驶时，最短需要多 少距离能加速到最大限制速度20km/h？当车速为20km/h时，无人车如果需要转弯，从沿直线行驶状态开始转弯，路径上的曲率相对路径长度的变 化率大小有何限制？

问题2：如图 4 所示，无人车初始位置为车库入口，请建立无人车泊 车的数学模型，并给出从初始位置到指定停车位的泊车轨迹，轨迹应包括 每时刻无人车的行驶路径长度、车辆朝向、速度、加速度、加加速度、角 速度、角加速度等，并给出可视化轨迹图。在这个过程中标注红色禁停的停车位都已经被占用，泊车过程中无人车不能与其发生冲突或碰撞。分别考虑三种不同的车位情况，10 号垂直停车位、82 号平行泊车位、31 号倾 斜停车位（倾斜角为45°）。

问题3：无人车在如图 5 所示的初始位置上，请你们根据当前停车位 的状况，建立泊车模型，计算出最优停车位，给出从当前位置到停车位的 轨迹；标注红色禁停的停车位都已经被占用，泊车过程中无人车不能与其 发生冲突或碰撞。在这个过程中，试建立通用模型，并考虑算法怎样设计 能适应车库中任意停车位被占用的状况，并考虑这个过程算法复杂性。

问题4：以图 5 为初始状态，假设在当前状态下每小时内从入口进入 和从出口离开停车场的车辆均为 30 辆，因车辆的进入和离开，导致停车位 会被随机占用或释放。请你们为无人车建立泊车模型，并给出从当前位置 到最优停车位的行驶轨迹的仿真结果。

解析（更新中）

前言

数学建模主要是让大家构建自己的模型，只要能解决问题的模型就是好模型，无标准答案。我个人的分析过程大致如下文，仅个人观点不一定是正确的，不说太多怕限制了大家的思维哈哈哈。

题目一解析（更新中）