基于SEIR微分方程模型对疫情传播的简单预测

目录

一、模型的建立

传染病模型概念

模型假设

SEIR模型

                                   

模型中涉及的函数S(t)、E(t)、I(t)、R(t)

更改后的微分方程

二、模型的求解

三、模型的缺点

祝语

随着疫情的再次爆发,全国疫情防控再次进入紧张状态,疫情预测分析成为数学建模问题中的一个热点问题,本文基于微分方程的SEIR模型对疫情做出简单预测。


提示:以下是本篇文章正文内容,下面案例可供参考

一、模型的建立

传染病模型概念

   传染病基本数学模型主要是研究传染病的动力学原理、传播方式、空间范围、传播速度等问题。常见的传染病模型按传染病类型分为SI、SIR、SEIR模型等,对疫情的研究,本文选取SEIR模型,相比较SIR模型。

模型假设

1.假设初始时刻易染者为总数N

2.假设病毒时间尺度远小于个体生命周期,即不考虑个体自然出生率和自然死亡率

3.建设各个个体间接触机会均等

SEIR模型

假设人群总体为N,定义四类人群,如下表所示。

                                                                表1  SEIR 模型的符号定义

符号 名称 解释
S 易染者 健康状态,可被感染的个体
E 暴露者  即与感染者接触过的个体(潜伏期)
I 感染者· 处于感染状态的个体还能够感染将康状态的个体
R 治愈者 恢复状态


在病毒最开始的时候S=N,然后S以每天α的速度变到E,E以每天σ的速度变到I,I又以每天β的速度变到R:

基于SEIR微分方程模型对疫情传播的简单预测_第1张图片        

SEIR模型对应的经典微分方程为:
                                                             \frac{\mathrm{dS} }{\mathrm{d} t}=-\beta\frac{SI}{N}

                                   \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} t}=\beta \frac{SI}{N}

                                                              \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}=\sigma E

                                                              \frac{\mathrm{d}R }{\mathrm{d} t}=\gamma I

                                                \textit{N}=S+E+I+R

模型中涉及的函数S(t)、E(t)、I(t)、R(t)

  S(t)的意思是第t天健康个体的数量,E(t)是第t天接触过感染者的个体数量,I(t)是第t天感染个体的数量,R(t)是第t天免疫个体的数量,N(t)是整个种群的数量,在假设情况下固定不变为N,取。

  该模型为经典传染病模型,由于疫情感染因素较普通传染病较为复杂,且具有潜伏期,因此引入三个额外的参数\gamma {_{1}}^{}\gamma_{2},a.\gamma {_{1}}^{}\gamma_{2},a分别为潜伏期自愈转化为康复者,即接触过感染者但未被感染,患病者治愈后转为康复者的概率,潜伏者对易感人群的传染率。

更改后的微分方程

                                                     \frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t}=-\frac{\beta IS}{N}-\frac{aES}{N}         

                                                     \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} t}=\frac{\beta IS}{N}+\frac{aES}{N}-\left ( \sigma +\gamma _{1}\right )E              

                                                      \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}=\sigma E-\gamma _{2}I

                                                      \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} t}=\gamma _{1}E+\gamma _{2}I

                                                      \textit{N}=S+E+I+R

二、模型的求解

         对于模型的求解,我们需要拟合六个参数:即易感者初始值S(0),潜伏者初始值E(0),传染率β,潜伏率a,康复率\sigma。查找近七天的数据,运用MATLAB拟合工具箱对数据进行拟合。

     图1 全国4月10至16日确诊人数及拟合

基于SEIR微分方程模型对疫情传播的简单预测_第2张图片


得到I(t)的拟合表达式:

                                                         I(t)=0.21t^{4.2}+2237

继而得出:

                                                                    \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}=0.84t^{3.2}

下面拟合近七天的治愈人数:

                                                                   图二 近七天治愈人数

基于SEIR微分方程模型对疫情传播的简单预测_第3张图片

 可以看到拟合效果不佳,可能由于科技,防控和疫情变化因素均很大,我们缩短时间尺度

基于SEIR微分方程模型对疫情传播的简单预测_第4张图片

 可以看到近六天的拟合效果明显好于近七天的,得出R(t)的函数表达式:

                                                                            R(t)=67t^{2}-1086t+10000

                                                                             \Rightarrow \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} t}=134x-1086

    原方程组化为:

                                                                              \frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t}=-\frac{\beta IS}{N}-\frac{aES}{N}         

                                                                \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} t}=\frac{\beta IS}{N}+\frac{aES}{N}-\left ( \sigma +\gamma _{1}\right )E  

                                                                               0.84t^{3.2}=\sigma E-\gamma _{2}I

                                                                        134t-1086=\gamma _{1}E+\gamma _{2}

    最后用MATLAB编程计算得出结果:         

                                                                                 \gamma _{1}=0.8

                                                                                  \gamma _{2}=0.922

                                                                                   \beta =0.17

                                                                                   \sigma =0.03

                                                                                     a=0.05

                                                                       S(0)=30000,E(0)=0

        得出预测结果:

基于SEIR微分方程模型对疫情传播的简单预测_第5张图片

三、模型的缺点

1.在SIR模型的基础上,SEIR模型在模型中加入了E, 具有潜伏期且潜伏期不具有传染性传染病适用 SEIR模型。新型冠状病毒在潜伏期也具有传染性,并不满足SEIR模型的适用条件,因此该模型存在较大局限性

2.疫情传播过程中人与人之间的接触机会并不均等

祝语

  新型肺炎看出人生百态,是对政府、民众、科研工作者最大的考题。第一时间公开数据信息、治疗方案、数理模型、预测结果等,是科研人最大的贡献。面对谣言和恐慌,科学分析、知识传递,也尤为重要。相信全国齐心协力,必能获得抗击新型肺炎的最终胜利。

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