弗洛伊德算法

floyd 也就是弗洛伊德算法，是图论中用来计算任意两点间最短路径的算法。

算法的过程是：

1.把图转换成一个带权重的n阶邻接矩阵。

2.依次把1-n的节点当作桥梁，也就是中间点，例如结点u,v和中间结点k，u和v在不经过k结点的时候存在最短路径x，u经过k结点到达v的时候最短路径为y那么min{x,y}就是在增加k桥梁的时候u和v的最短路径。

代码实现：

void floyd()

{

    for(k=0;k<n;k++)

        for(i=0;i<n;i++)

            for(j=0;j<n;j++)

                A[i][j]=min(A[i][j],A[i][k]+A[k][j]);

}

其最基本的理解就是在原来经过前k-1的前提下，如果经过k会不会对原来的格局产生影响，原来的状态已经是可计算出来的。桥梁的含义就是能否提供一条更短的捷径。

时间复杂度因为有三重循环明显是：O(n3 ）。

这个在学习离散数学的时候有接触过，不过那时候主要的精力没有在算法这一块，所以学习的不是很深入，今天在上完算法课的时候，讲到动态规划：

       动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

对一个问题能采用动态规划需要满足的条件：

1.满足最优化原则，一个最优化策略的子策略总是最优化的。

最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。

2.无后向性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关，即每个状态都是过去历史的一个完整总结。

3.子问题的重叠性，即是能够采用自底向上的方法求解问题。动态规划将原来具有指数级复杂度的搜索算法改进成了具有多项式时间的算法。其中的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本目的。动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其它的算法。

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以下摘自：http://blog.csdn.net/roofalison/article/details/5651806

floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在），floyd算法加入了这个概念

    Ak(i,j)：表示从i到j中途不经过索引比k大的点的最短路径。

    这个限制的重要之处在于，它将最短路径的概念做了限制，使得该限制有机会满足迭代关系，这个迭代关系就在于研究：假设Ak(i,j)已知，是否可以借此推导出Ak-1(i,j)。

    假设我现在要得到Ak(i,j)，而此时Ak(i,j)已知，那么我可以分两种情况来看待问题：1. Ak(i,j)沿途经过点k；2. Ak(i,j)不经过点k。如果经过点k，那么很显然，Ak(i,j) = Ak-1(i,k) + Ak-1(k,j)，为什么是Ak-1呢？因为对(i,k)和(k,j)，由于k本身就是源点（或者说终点），加上我们求的是Ak(i,j)，所以满足不经过比k大的点的条件限制，且已经不会经过点k，故得出了Ak-1这个值。那么遇到第二种情况，Ak(i,j)不经过点k时，由于没有经过点k，所以根据概念，可以得出Ak(i,j)=Ak-1(i,j)。现在，我们确信有且只有这两种情况---不是经过点k，就是不经过点k，没有第三种情况了，条件很完整，那么是选择哪一个呢？很简单，求的是最短路径，当然是哪个最短，求取哪个，故得出式子：

    Ak(i,j) = min( Ak-1(i,j), Ak-1(i,k) + Ak-1(k,j) )

    现在已经得出了Ak(i,j) = Ak-1(i,k) + Ak-1(k,j)这个递归式，但显然该递归还没有一个出口，也就是说，必须定义一个初始状态，事实上，这个初始状态取决于索引k是从0开始还是从1开始，上面的代码是C写的，是以0为开始索引，但一般描述算法似乎习惯用1做开始索引，如果是以1为开始索引，那么初始状态值应设置为A0了，A0(i,j)的含义不难理解，即从i到j的边的距离。也就是说，A0(i,j) = cost(i,j) 。由于存在i到j不存在边的情况，也就是说，在这种情况下，cost(i,j)无限大，故A0(i,j) = oo（当i到j无边时）

    到这里，已经列出了求取Ak(i,j)的整个算法了，但是，最终的目标是求dist(i,j)，即i到j的最短路径，如何把Ak(i,j)转换为dist(i,j)？这个其实很简单，当k=n（n表示索引的个数）的时候，即是说，An(i,j)=dist(i,j)。那是因为当k已经最大时，已经不存在索引比k大的点了，那这时候的An(i,j)其实就已经是i到j的最短路径了。

    从floyd算法中不难看出，要设计一个好的动态规划算法，首先需要研究是否能把目标进行重新诠释（这一步是最关键最富创造力的一步），转化为一个可以被分解的子目标，如果可以转化，就要想办法寻找数学等式使目标收敛为子目标，如果这一步可以实现了，还需要研究该递归收敛式的出口，即初始状态是否明确（这一步往往已经简单了）。

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再深入理解的话：Ak-1(i,j)的最短路径是经过Ak-1(i,h)、Ak-1(h,j)（假设h到j不经过任何中间结点），当结点g（g的索引大于h）做桥梁的时候Ak(h,j)就变为要经过Ak-1(h,g)和Ak-1(g,j)也就是Ak(h,j)的值已经更新了，那么Ak(i,j)的值应该如何更新呢，是不是应该要比较Ak-1(i,h)+Ak(h,j)与Ak-1(i,g)+Ak-1(g,j)，从上面可以看出这样考虑的话Ak-1(i,h)+Ak(h,j)已经是经过g这一个结点，所以这样的比较是没有意义的，因为可能存在不经过h的结点到达g而且路程较短的其它结点。如果要经过g结点我们直接要比较的是Ak-1(i,j)和Ak-1(i,g)+Ak-1(g,j)。