史上最强数据结构----二叉树的概念及结构（附习题解析）

1.树的概念和结构

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点

• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

• 树是递归定义的。每个树都是由跟和子树构成的，如下图所示：

  

  如图所示的树就是由根和三个子树构成的，子树也是如此，例如第一个子树就是由根和两个子树构成的，第二个子树是由根和一个子树构成的，第三个子树是由根和两个子树构成的，这就是为什么树是递归定义的原因。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

在上面的结构图中，如果树带了回路就是图了。

1.2 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

叶节点或终端节点（重点）：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

双亲节点或父节点（重点）：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点（重点）：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点，但是H和I就不是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；当然，也有从根开始定义起，根为第0层开始的，不过这种比较少。

树的高度或深度（重点）：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先，Q的祖先是Q、A、E、J

注意：自己可以认为是自己的祖先。

例题：在上面的图中。F和K的最近公共祖先是F，因为F可以认为是自己的祖先，而F同时也是K的祖先。

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

注意：自己可以认为是自己的子孙。

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法 等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
	struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
	struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
	DataType _data; // 结点中的数据域
};
//一个节点有多少个子节点都无所谓，，父亲指向第一个孩子，剩下的孩子，用孩子的兄弟指针链接起来。

1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，度最大为2，该集合:

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 现实中的二叉树

2.3 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。 （如上面的第一个图就是满二叉树）
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。（前k-1层都是满的，最后一层不满，但是最后一层从左向右是连续的）

2.4 二叉树的性质及相关习题

2.4.1 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点 .
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1.
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n₀, 度为2的分支结点个数为n₂,则有n₀＝n₂＋1.（只要增加一个度为2的，就必然增加两个度为0的）
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log₂(n+1). (ps：log₂(n+1)是log以2 为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
   1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
   2. 若2i+1=n否则无左孩子
   3. 若2i+2=n否则无右孩子

2.4.2 相关习题

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（B）

   A 不存在这样的二叉树

   B 200

   C 198

   D 199

   解析：运用的是上面的性质3，度为0的个数比度为2的个数多1，即199+1即200就能得到我们想要的结果。

2. 下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（A）

   A 非完全二叉树

   B 堆

   C 队列

   D 栈

3. 在具有 2N 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（A）

   A N

   B N+1

   C N-1

   D N/2

   解析：

   假设度为2的节点数为N₂，那么度为1的节点数为N₁，度为1的节点数为N₀，从上面的性质可以得到N₂和N₀的关系，即N₀ = N₂ + 1

   N₀ + N₁ + N₂ = 2N

   运用上面的关系即可得到下面的式子：

   N₀ + N₁ + N₀ - 1 = 2N

   2N₀ - 1 + N₁ = 2N

   完全二叉树N₁是1个或者0个

   如果上面的式子要满足，那么N₁只能是1个（必须满足2N₀ - 1 + N₁ = 2N），所以得到下面的式子

   2N₀ = 2N

   即N₀ = N

   所以叶子节点的个数为N

4. 一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（B）

   A 11

   B 10

   C 8

   D 12

   解析：

   有h层的满二叉树的节点的数量为：2^h-1

   假设某个满二叉树的节点数量为N，此时二叉树的深度为：h = log₂(N+1)

   针对此题，假设高度是h，那么该二叉树的节点个数为：

   最多：2^h-1

   最少：2^h-1(即前h-1层节点的数量加1公式为N = 2^h-1-1+1（加1是因为最后一层还有一个节点）)

   假设某二叉树的节点数量为N，那么N必然满足下面这个不等式：

   2^h-1 < N < 2^h-1

   将所给条件带入之后，经过计算可得，h为10

5. 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

   A 383

   B 384

   C 385

   D 386

   假设度为2的节点数为N₂，那么度为1的节点数为N₁，度为1的节点数为N₀，从上面的性质可以得到N₂和N₀的关系，即N₀ = N₂ + 1

   N₀ + N₁ + N₂ = 767

   N₀ + N₁ + N₀-1 = 767

   2*N₀ - 1 + N₁ = 767

   此时N₁只能是0，为什么？因为当N1是1的时候，此时节点的数目应该是偶数，但是题目所给的是奇数，所以N₁只能是0。

   所以计算之后叶子节点的个数是384。

2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

   顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空 间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

   

2. 链式存储

   二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程 学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

   

   typedef int BTDataType;
   // 二叉链
   struct BinaryTreeNode
   {
   	struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
   	struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
   	BTDataType _data; // 当前节点值域
   }
   // 三叉链
   struct BinaryTreeNode
   {
   	struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
   	struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
   	struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
   	BTDataType _data; // 当前节点值域
   }；