一、什么是前缀和？
对于一个给定的数列 \(A\) ，它的前缀和数列 \(S\) 中 \(S_{[i]}\) 表示从第 \(1\) 个元素到第 \(i\) 个元素的总和。用公式表示为：
$$S_{[i]}=\sum_{j=1}^iA[j]$$
代码如下：
$S = [0];
for ($i=0;$i二、前缀和的应用
和为K的子数组
给定一个整数数组和一个整数 k，可以找到该数组中和为 k 的连续的子数组的个数。
三、前缀和的示例
（一）问题描述
给定一个整数数组和一个整数 k，你需要找到该数组中和为 k 的连续的子数组的个数。
输入：$nums = [1,6,2,5,4,2]; $k = 8;
输出：1。（连续子数组为[6,2]）
（二）问题分析
（1）先从熟悉的数列开始：
数列\( \lbrace a_n \rbrace \)
$$a_1,a_2,a_3,...,a_{n+1},...$$
数列的前 n 项和：
$$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{n-1}+a_{n}$$
例如，求数列的前 3 项和 \(S_3 = a_1 + a_2 + a_3\) ，数列的前 7 项和 \( S_7 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 \)。
假如要求连续子数列 \( a_4,a_5,a_6,a_7 \) 的和。可以用数列的前 7 项和减去数列的前 3 项和。即：
$$S_7 - S_3 = a_4 + a_5 + a_6 + a_7$$
进行抽象：假如要求连续子数列\( a_i,\cdots,a_j \) 的和，则可以用数列前 j 项的和减去数列前 \( i-1 \) 项的和：
$$ S_j - S_{i-1} = a_i + a_{i+1} +...+a_j $$
（2）回到数组，数组的下标是从 0 开始的：
$$arr = [a_0,a_1,a_2,...,a_{n+1},...]$$
数组的前 3 项和，实际是从\( arr[0] \) 一直加到 \(arr[2]\)，即：\(S_3 = arr[0] + arr[1] + arr[2]\)。
以防搞混，在数组的最前面添加一个 0 元素，即\( [0=>0,1=>a_0,2=>a_1,...]\)，相当于所有的元素都往后挪了一个位置。这样既不会影响结果，又和处理数列的方法同步。
此时，数组的前 7 项和就等于：
$$S_7=arr[1] + arr[2] + arr[3] + arr[4] + arr[5] + arr[6] + arr[7]$$
进行抽象，在数组的最前面添加 0 元素之后，求数组的连续子数组 \(arr[i,...,j]\) 和的方法与数列相同，其中 \(1 \le i \le j \lt len，其中i、j都为整数\)：
$$ S_j - S_{i-1} = arr[i] + arr[i+1] +...+arr[j] $$
假如某个连续子数组 \(arr[i,..,j]\) 的和为题目所给的 k ，则有：
$$ S_j - S_{i-1} = arr[i] + arr[i+1] +...+arr[j] = k$$
即：
$$ S_j - S_{i-1} = k $$
对其进行移项：
$$ S_{i-1} = S_j - k $$
\(i - 1\) 的范围是什么？由 \(1 \le i \le j \lt len\) 的范围可知：
$$0 \le i-1 \le j-1 \lt len$$
当遍历到第 j 项时，前 j 项的和 \(S_{j}\) 就已经确定了。而 k 又是一个常数，换句话说 \(S_{j} - k\) 是一个定值。此时前缀和数组中保存了数组的前 1 项和 \(S_1\)，前 2 项和 \(S_2\)，... ，前 \(j-1\) 项和 \(S_{j-1}\)。即：
$$[0=>1,S_1=>n,...,S_{j-1}=>n]$$
结合 \(i-1\) 的取值范围与前缀和数组的键可知，如果 \(S_{i-1} = S_j - k\) 成立，那么 \(S_{i-1}\) 一定是前缀和数组的某个键，具体是哪个键无关紧要。
例如，在输入的数组的最前面添加了 0 元素后： \(arr = [0,1,6,2,5,4,2]\)，当遍历到第 3 项时（起始的下标为 1，而非 0），\(S_3=9\)。
此时 \(S_3 - k = 9 - 8 = 1\)，即前 3 项和与 k 的差值为 1。
此时的前缀和数组为\([0=>1,1(S_1)=>1,7(S_2)=>1]\)。而 \(S_3\) 与 k 的差值 1 为前缀和数组的键 \(S_1\)，故更新答案。
于是就将是否存在和为 k 的连续子数组的问题转化为了 \(S_j - k\) 的值是否为前缀和的键的问题。
（三）参考代码
function prefix($arr, $k)
{
$prefix = [0=>0];
$ans = 0;
$sum_j = 0;
// 在数组的最前面添加了 0 元素。
array_unshift($arr, 0);
// 添加 0 元素之后，就从下标 1 开始加。
for ($j=1;$j四、复杂度分析
只用了一个循环，所以时间复杂度为 $$O(n)$$。
五、类似问题
1. 向下的路径节点值之和
参考资料
1. 前缀和
2. 前缀和技巧
3. 什么是前缀和?