matlab多项式的拟合与插值例题_数学建模&matlab之插值与拟合

1. 拉格朗日多项式插值

了解概念

插值多项式

插值节点

范德蒙特(Vandermonde)行列式

截断误差、插值余项

特点

函数实现

function y=lagrange(x0,y0,x)

n=length(x0);m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);

s=0.0;

for k=1:n

p=1.0;

for j=1:n

if j~=k

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

end

end

s=p*y0(k)+s;

end

y(i)=s;

end

设n个节点数据以数组x0,y0输入(注意Matlat的数组下标从1开始)，m个插值点以数组x 输入，输出数组y为m个插值。

则可用y = lagrange(x0,y0,x)调用。

2. 牛顿(Newton)插值

了解概念

差商

差分

等距节点插值公式(Newton向前插值公式)

特点

每增加一个节点，插值多项式只增加一项，因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。

函数实现

3. 分段线性插值

了解概念

插值多项式的振荡

特点

将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数。它是为了解决高次插值多项式的缺陷：随着插值次数n增加，虽然误差减小，但插值函数光滑性变坏，有时会出现很大的振荡。

实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。

函数实现

一维插值函数interp1：y=interp1(x0,y0,x,'method')

method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：

'nearest' 最近项插值

'linear' 线性插值

'spline' 逐段3次样条插值

'cubic' 保凹凸性3次插值。

所有的插值方法要求 x0 是单调的。

当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、'*spline'、'*cubic'。

4. 埃尔米特(Hermite)插值

了解概念

特点

如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一

阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。

这里主要讨论在节点处插值函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。

函数实现

设n个节点的数据以数组x0(已知点的横坐标)， y0(函数值)， y1(导数值)输入(注意Matlat 的数组下标从1 开始)，m 个插值点以数组x 输入，输出数组y 为m个插值。

function y=hermite(x0,y0,y1,x)

n=length(x0);m=length(x);

for k=1:m

yy=0.0;

for i=1:n

h=1.0;

a=0.0;

for j=1:n

if j~=i

h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;

a=1/(x0(i)-x0(j))+a;

end

end

yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));

end

y(k)=yy;

end

5. 样条插值

了解概念

样条函数

关于分划Δ的k次样条函数 k次样条曲线 样条节点 内节点 边界点 k次样条函数空间

二次样条函数 三次样条函数

特点

有些问题对插值函数的光滑性有较高要求，要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。

函数实现

y=interp1(x0,y0,x,'spline')；

y=spline(x0,y0,x)；

pp=csape(x0,y0,conds)，y=ppval(pp,x)。

其中 x0,y0 是已知数据点，x 是插值点，y 是插值点的函数值。

对于三次样条插值，我们提倡使用函数 csape，csape 的返回值是pp 形式，要求插

值点的函数值，必须调用函数ppval。

pp=csape(x0,y0)：使用默认的边界条件，即Lagrange 边界条件。

pp=csape(x0,y0,conds)中的conds 指定插值的边界条件，其值可为：

'complete' 边界为一阶导数，即默认的边界条件

'not-a-knot' 非扭结条件

'periodic' 周期条件

'second' 边界为二阶导数，二阶导数的值[0, 0]。

'variational' 设置边界的二阶导数值为[0,0]。

对于一些特殊的边界条件，可以通过 conds 的一个1×2矩阵来表示，conds 元素的

取值为1，2。此时，使用命令

pp=csape(x0,y0_ext,conds)

其中y0_ext=[left, y0, right]，这里left 表示左边界的取值，right 表示右边界的取值。

conds(i)=j 的含义是给定端点i 的j 阶导数，即conds 的第一个元素表示左边界的条

件，第二个元素表示右边界的条件，conds=[2,1]表示左边界是二阶导数，右边界是一阶

导数，对应的值由left 和right 给出。

6. B样条函数插值方法

了解概念

磨光函数

等距B样条函数

一维等距B样条函数插值 二维等距B样条函数插值

特点

实际中的许多问题，往往是既要求近似函数(曲线或曲面)有足够的光滑性，又要求与实际函数有相同的凹凸性，一般插值函数和样条函数都不具有这种性质。如果对于一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数(多项式)，则用磨光函数构造出样条函数作为插值函数，既有足够的光滑性，而且也具有较好的保凹凸性，因此磨光函数在一维插值(曲线)和二维插值(曲面)问题中有着广泛的应用。

函数实现

7. 二维插值

了解概念

插值节点为网格节点

插值节点为散乱节点

特点

函数实现

插值节点为网格节点

二次样条插值：z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method')

其中 x0,y0分别为m维和n维向量，表示节点，z0为n × m维矩阵表示节点值，x,y为一维数组表示插值点x与y应是方向不同的向量，即一个是行向量，另一个是列向量，z为矩阵，它的行数为y的维数，列数为x的维数，表示得到的插值，'method'的用法同上面一维插值。

三次样条插值：pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds)，z=fnval(pp,{x,y})

其中 x0,y0 分别为m 维和n维向量，z0 为m × n 维矩阵，z 为矩阵，它的行数为x的维数，列数为y 的维数，表示得到的插值，使用方法同一维插值。

插值节点为散乱节点

已知n个节点：(x , y , z )(i 1,2, ,n) i i i = L ，求点(x, y)处的插值z：

ZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI)

其中X、Y、Z 均为n 维向量，指明所给数据点的横坐标、纵坐标和竖坐标。向量XI、YI是给定的网格点的横坐标和纵坐标，返回值ZI为网格(XI，YI)处的函数值。XI与YI应是方向不同的向量，即一个是行向量，另一个是列向量。

最小二乘法的Matlab 实现

解方程组方法

A = R \Y

x=[19 25 31 38 44]';

y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]';

ab=r\y

多项式拟合方法

a=polyfit(x0,y0,m)

其中输入参数x0,y0 为要拟合的数据，m 为拟合多项式的次数，输出参数a 为拟合多项式y=amxm+…+a1x+a0 系数a=[ am, …, a1, a0]。

多项式在x 处的值y可用y=polyval(a,x)计算。

最小二乘优化

在Matlab 优化工具箱中，用于求解最小二乘优化问题的函数有：lsqlin、lsqcurvefit、lsqnonlin、lsqnonneg

lsqlin 函数

x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)

lsqcurvefit 函数

X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB,OPTIONS)

lsqnonlin 函数

X=LSQNONLIN(FUN,X0,LB,UB,OPTIONS)

lsqnonneg 函数

X = LSQNONNEG(C,d,X0,OPTIONS)