python三次样条插值拟合的树行线_数据分析中的插值与拟合(1) —— 插值

引言

前面讲了很多结构力学，今天来讲讲有关数据分析的内容，后面有机会将会介绍更多相关的内容。数据分析在科学研究和工程应用中非常有用，有时也很好玩。

言归正传，在许多实际问题中，常常需要根据一些已有的数据，实现预测这些数据之外的信息，或解决与这些数据相关的一些问题。

在科学研究和工程计算中最常用的两种方法就是插值和拟合。

估计函数

总体来说，两种方法都是通过已有的离散点，在定义域中形成一个估计函数，在描述已有数据的同时，预测未知数据；该函数可以是显示表达的，也可以是非显示表达的。插值与拟合的区别在于，插值方法需要估计函数严格经过已有数据；拟合方法则允许估计函数和已有数据存在一定误差，从而保证整体最优。

如何插值

在插值过程中，估计函数被称为插值函数，假设F为插值函数，{g}为基函数族(有一定要求)，a为待定系数，则插值函数可表示为

很显然，对于给定N个数据，如果给定了N个基函数g，在一般情况下，待定系数a可以唯一确定；读者可以考虑一下为什么？

估计函数用到的基函数族有很多形式，如多项式和三角函数等，本文主要介绍最常用的多项式形式。

多项式的基函数族通常按幂次由小到达排列，其中通常将g(x)=1视为幂次为0的常数项；通常基函数族都要都要包含常数项；从另一个角度看，基函数族从低频到高频排列，而低频分量总是要优先考虑的。

由以上分析可知，给定N的数据，最多可以确定N-1次多项式。

分段插值

尽管看起来很完美，但使用这种方法，对于一些函数插值可能会引起“震荡”现象，实际上很少采用直接多项式插值。

震荡是由高幂次的“高频”函数产生的，我们考虑将横轴划分为多个小段，由一系列低幂次的插值函数组成。

在分段过程中，发现多个低次函数插值会使得分割点出现不连续、不可导等现象。为了解决这个问题，我们在分割点处增加一些约束条件，如连续、可导和多阶可导；带来的代价就是幂次增大。

通常有台阶、线性、三次和三次样条插值等几种形式；分别对应不连续、不可导、二阶不可导和三阶不可导。由于一般的物理方程都是不高于二阶系统的，因此，三次样条插值是应用非常广泛的一种插值方法。

插值的预测

得到插值函数后，可以预测其他未给定的数据；预测值和真实值之间的误差称为插值余项。

我们把已知数据“最外围”的区域称为边界，在边界内预测称为“内插值”，在边界外预测称为“外插值”；一般而言，内插值能保证良好的精度，而外插值相对不可控，可能会有非常大的误差。因此，如果需要边界处的数据，理论上需要增大数据范围，特别是分段插值，外围的数据通常是不可预测的。后面讲的拟合也有同样的问题。

拟合的应用场景更为广泛，将在下一篇文章中介绍。

蒙特遇见卡罗：数据分析中的插值与拟合(2) —— 拟合​zhuanlan.zhihu.com

蒙特遇见卡罗：数据分析中的插值与拟合(3) —— 基于Matlab的实现​zhuanlan.zhihu.com

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