计算机视觉（北邮鲁鹏）学习笔记（三）

如何从边缘的基础上给出物体的描述？

面临的问题：

1. 噪声
2. 外点
3. 丢失数据

总览

• 如果我们知道所有属于某条线上的所有点，可以使用最小二乘的方法。
• 如果不属于该线上的点（噪声点）比较多，可以使用RANSAC方法。
• 如果有很多线，其他线对于我取某条线来说都是噪声，可以用RANSAC或者Hough transform的思想。
• 线都不确定，snake（蛇形模型）

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最小二乘（Least squares）

许多机器学习的入门课程都有关于最小二乘的详细描述，老师在这里使用的是 正规方程（Normal Equation）来解决该问题。当然，还有其他方法比梯度下降等，请参考机器学习等相应教材。

当线垂直$x$轴的时候的时候，最小二乘无法使用。这时候需要将点沿纵轴方向到线的距离改为点到直线的距离，这就是全最小二乘（Total Least Squares）

极大似然估计与全最小二乘

我们可以将点到直线的距离，看成均值为0，方差为${\sigma }^2$的正态分布。

这样就将误差函数转换成了概率的形式。然后就可以用极大似然估计求解。

这是一种很重要的思想，即一个事情可以有多种方式去建模。

鲁棒估计

在用全最小二乘拟合曲线的过程中，当数据中有一些很大的噪声，导致个别点偏离正确模型非常远时（将这种点称为“外点（outliers）”），该点对最终拟合出来的曲线影响较大。鲁棒估计（Robust estimators）不再将点到直线的距离直接作为要减小的误差，而是将该距离$u$输入函数$\rho (u;\sigma )=\frac{u^2}{{\sigma }^2+u^2}$，把输出当做要减小的误差。

这样一来总的误差为
$$E=\sum _{i=1}^n\rho (r_i(x_i,\theta );\sigma )$$

看一下效果：

注意，这是一个非线性的优化问题。

随机采样一致性（RANSAC）

1. 从数据中采集最小子集（最小子集的大小由所研究的问题决定，如拟合直线，则最小子集数目为2，因为两点确定一条直线），然后用这个最小子集拟合一条直线 $l_i$ （得到 $\tilde{H}$ ）；

2. .计算每个点到直线 $l_1$ 的距离 （在拟合直线的情况下，我采用的是点 $x_i$ 通过 $\tilde{H}$ 得到的 $\widetilde{y_i}=\tilde{H}{x}_i$ 与真值的差的绝对值 $|y_i-\widetilde{y_i}|$），如果$d_{\perp }<t$，$t$是距离阈值，则记为“内点（inlier）”。统计本次得到的内点的数目$n_i$。如果$n_i>T$，$T$是内点数目阈值，则说明当前所估计的$\tilde{H}$足够好，利用这些内点再重新估计$\tilde{H}$，然后返回$\tilde{H}$，退出。否则返回（1）继续执行。

作者：Kissrabbit
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来源：知乎