线性规划的实例赏析

线性规划的实例赏析

本文偏向于数学建模实战，针对对于规划问题有一定的基础和理解的读者，所以其中数学理论与代码不过多讲解，重在解题过程的展示。

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前言

求解线性规划模型已经有比较成熟的算法。对于一般的线性规划问题，常用的求解方法有图解法，单纯形法等。

<不太清楚的朋友可以参考系列文章《线性规划对偶问题》>
链接：https://blog.csdn.net/weixin_51128278/article/details/116246003

虽然针对线性规划的理论算法已经比较完善，但是当需要求解的模型的决策变量和约束条件数量比较多时，手工求解模型是十分繁杂甚至是不可能的，通常需要借助计算机软件来实现。

目前，求解数学规划模型的常用软件有MATLAB、Python、Lingo等多种，本文主要以MATLAB软件求解。MATLAB求解数学规划问题（包括线性规划、整数规划和非线性规划）采用两种模式：基于求解器的求解方法和基于问题的求解方法。

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以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

一、解题思考模式

在建立模型之前，有几个方面需要提前认知清楚，下面继续：

1.MATLAB求解方法

（1）基于求解器的求解方法：

规定线性规划问题的标准格式是：
$$\max f^{T}x,$$
$$s.t.\{\begin{array}{l}A\cdot x\le b\\ Aeq\cdot x\le beq\\ lb\le x\le ub\end{array}$$
调用格式为：

[x,fval]=linprog(f,A,b)
[x,fval]-linprog(f,A,b,Aeq,beq)
[x,fval]-linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

（2）基于问题的求解方法：

先需要用变量和表达式构造优化问题，然后用solve函数求解。
例如：

clc, clear
prob = optimproblem('ObjectiveSense', 'max')
c = [4;3]; b = [10;8;7];
a = [2,1;1,1;0,1]; lb = zeros(2,1);
x = optimvar('x',2,'LowerBound',0);
prob.Objective = c'*x;
prob.Constraints.con = a*x<=b;
[sol, fval, flage, out] = solve(prob)
sol.x  %显示决策变量的值

2.规划问题的构成元素

3.线性规划问题的求解步骤

4.线性规划模型的形式

4.线性规划问题的解的概念

5.灵敏度分析

灵敏度分析是指对系统因周围条件变化显示出来的敏感程度的分析。

可参考系列文章《数学建模评价类方法01——灵敏度分析》
链接：https://blog.csdn.net/weixin_51128278/article/details/117898155

二、线性规划模型的求解及应用

【例一】一般问题。

捷运公司在下一年度的1~4月的4个月内拟租用仓库堆放物资。仓库租借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大。已知各月份所需仓库面积列于、折扣见表1.1。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积和期限。因此该公司可根据需要，在任何一个月初办理租借合同。每次办理时可签一份合同，也可签若干份租用面积和租借期限不同的合同，试确定该公司签订租借合同的最优决策，目的是使所付租借费用最小。

clc, clear
prob = optimproblem
x = optimvar('x',4,4,'LowerBound',0);
prob.Objective = 2800*sum(x(:,1))+4500*sum(x(1:3,2))+...
    6000*sum(x(1:2,3))+7300*x(1,4);
prob.Constraints.con = [sum(x(1,:))>=15
    sum(x(1,2:4))+sum(x(2,1:3))>=10
    x(1,3)+x(1,4)+x(2,2)+x(2,3)+x(3,1)+x(3,2)>=20
    x(1,4)+x(2,3)+x(3,2)+x(4,1)>=12];
[sol,fval,flag,out]= solve(prob), sol.x

【例二】运输问题。

可参考系列文章《特殊规划问题——运输问题》

clc, clear, a = load('data1_5_1.txt');
c = a(1:end-1,1:end-1);
e = a(1:end-1,end); d = a(end,1:end-1);
prob = optimproblem;
x = optimvar('x',6,8,'LowerBound',0);
prob.Objective = sum(sum(c.*x));
prob.Constraints.con1 = sum(x,1) == d;
prob.Constraints.con2 = sum(x,2)<= e;
[sol,fval,flag,out]=solve(prob), xx=sol.x
writematrix(xx, 'data1_5_2.xlsx')  %数据写到Excel文件，便于做表使用

【例三】可以转化为线性规划的问题

例如：

clc, clear
c = [1:4]'; b = [-2,-1,-1/2]';
a = [1,-1,-1,1;1,-1,1,-3;1,-1,-2,3];
prob = optimproblem;
u = optimvar('u',4,'LowerBound',0);
v = optimvar('v',4,'LowerBound',0);
prob.Objective = sum(c'*(u+v));
prob.Constraints.con = a*(u-v)<=b;
[sol,fval,flag,out]=solve(prob)
x = sol.u - sol.v

三、投资的收益与风险

（本题选自1998年全国大学生数学建模竞赛A题）
市场上有$n$种资产（如股票、债券等）$S_i(i=1,2,...,n)$ 供投资者选择，某公司有数额为$M$的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这$n$种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买资产$S_i$ 的平均收益率为 $r_i$，并预测出购买 $S_i$的风险损失率为$q_i$ 。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的 $S_i$中最大的一个风险来度量。
购买$S_i$ 要付交易费，费率为$p_i$ ，并且当购买额不超过给定值 $u_i$ 时，交易费按购买 $u_i$ 计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是 $r_0$ $(r_0=5$ ，且既无交易费又无风险。

试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金$M$ ，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

（Ⅰ）问题分析

（Ⅱ）符号说明

（Ⅲ）模型假设

（Ⅳ）模型建立

【模型一求解】

clc, clear, close all
prob = optimproblem('ObjectiveSense','max');
x = optimvar('x',5,1,'LowerBound',0);
c=[0.05,0.27,0.19,0.185,0.185]; %净收益率
Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];  %等号约束矩阵
prob.Objective = c*x; M = 10000; 
prob.Constraints.con1 = Aeq*x==M; %等号约束条件
q=[0.025,0.015,0.055,0.026]'; %风险损失率
a = 0; aa = []; QQ = []; XX = []; hold on
while a<0.05
    prob.Constraints.con2 = q.*x(2:end)<=a*M;
    [sol,Q,flag,out]= solve(prob);
    aa = [aa; a]; QQ = [QQ,Q]; 
    XX = [XX; sol.x']; a=a+0.001;
end
plot(aa, QQ, '*k')
xlabel('$a$','Interpreter','Latex'),
ylabel('$Q$','Interpreter','Latex','Rotation',0)

【模型三求解】

clc, clear, close all
prob = optimproblem('ObjectiveSense','max');
x = optimvar('x',5,1,'LowerBound',0);
c=[0.05,0.27,0.19,0.185,0.185]; %净收益率
Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];  %等号约束矩阵
prob.Objective = c*x; M = 10000; 
prob.Constraints.con1 = Aeq*x==M; %等号约束条件
q=[0.025,0.015,0.055,0.026]'; %风险损失率
a = 0; aa = []; QQ = []; XX = []; hold on
while a<0.05
    prob.Constraints.con2 = q.*x(2:end)<=a*M;
    [sol,Q,flag,out]= solve(prob);
    aa = [aa; a]; QQ = [QQ,Q]; 
    XX = [XX; sol.x']; a=a+0.001;
end
plot(aa, QQ, '*k')
xlabel('$a$','Interpreter','Latex'),
ylabel('$Q$','Interpreter','Latex','Rotation',0)

clc, clear, close all, format long g
M =10000; prob = optimproblem; 
x = optimvar('x',6,1,'LowerBound',0);
r=[0.05,0.28,0.21,0.23,0.25]; %收益率
p=[0, 0.01, 0.02, 0.045, 0.065]; %交易费率
q=[0, 0.025, 0.015, 0.055, 0.026]'; %风险损失率
%w = 0:0.1:1 
w = [0.766, 0.767, 0.810, 0.811, 0.824, 0.825, 0.962, 0.963, 1.0]
V = []; %风险初始化
Q = []; %收益初值化
X = []; %最优解的初始化
prob.Constraints.con1 = (1+p)*x(1:end-1)==M;
prob.Constraints.con2 = q(2:end).*x(2:end-1)<=x(end);
for i = 1:length(w)
    prob.Objective = w(i)*x(end)-(1-w(i))*(r-p)*x(1:end-1);
    [sol,fval,flag,out]=solve(prob);
    xx = sol.x; V=[V,max(q.*xx(1:end-1))];
    Q=[Q,(r-p)*xx(1:end-1)]; X=[X; xx'];
    plot(V, Q, '*-'); grid on
    xlabel('风险（元）'); ylabel('收益（元）')
end
V, Q, format

四、总结

因为线性规划的PPT上内容完整，所以大部分内容还是参考PPT来的，也不用手打很多字，算是节约了不少时间。 不出意外这应该是线性规划问题的最后一篇了，我现在明白了为什么运筹学讲线性规划就用掉11周的课......太要命了。接下来会进入图论的学习，不过那就是，期末考试之后的事儿辣~ 肝完这周的活儿，差不多全身心投入复习了！！！

五、引用

《运筹学教程》胡运权
《数学算法与应用》司守奎 孙玺菁